§6.2等差数列考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.等差数列的定义及运算1.等差数列的证明2.等差数列的通项公式3.等差数列求和C20题16分8题5分填空题解答题★★★2.等差数列的性质利用等差数列有关性质解题C填空题解答题★★★分析解读等差数列是高考的热点.中档题主要考查等差数列的基本运算,压轴题常考等差数列中的推理证明,对能力要求比较高.五年高考考点一等差数列的定义及运算1.(2016江苏,8,5分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.答案202.(2016浙江改编,8,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)Sn为△AnBnBn+1的面积,则{Sn}是数列.(填“等差”或“等比”)答案等差3.(2014福建改编,3,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于.答案124.(2013课标全国Ⅰ理改编,7,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=.答案55.(2017课标全国Ⅰ文,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析(1)设{an}的公比为q,由题设可得解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn==-+(-1)n·.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n·=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.6.(2014江苏,20,16分)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.解析(1)证明:由已知,得当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以{an}是“H数列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)·d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”.因此d的值为-1.(3)证明:设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(n∈N*),下证{bn}是“H数列”.设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm.所以{bn}是“H数列”.同理可证{cn}也是“H数列”.所以,对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*).教师用书专用(7—10)7.(2016课标全国Ⅰ,17,12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.解析(1)当n=1时,a1b2+b2=b1,因为b1=1,b2=,所以a1=2,(3分)所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(5分)(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,(7分)因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.(9分)记{bn}的前n项和为Sn,则Sn==-.(12分)8.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解析(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.(3分)所以{an}的通项公式为an=.(5分)(2)由(1)知,bn=.(6分)当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;当n=4,5时,2<<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4<<5,bn=4.(10分)所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)9.(2014大纲全国,18,12分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数.又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,于是10+3d≥0,10+4d≤0.解得-≤d≤-.因此d=-3.数列{an}的通项公式为an=13-3n.(6分)(2)bn==.(8分)于是Tn=b1+b2+…+bn===.(12分)10.(2013山东理,20,12分)设等...
