课时达标检测(五十一）数学归纳法一、全员必做题1．(2018·南通期初)已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝－＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝1＋＝，g(2)＝－＝，所以f(2)＜g(2)；当n＝3时，f(3)＝1＋＋＝，g(3)＝－＝，所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1时，不等式显然成立．②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立．即1＋＋＋＋…＋＜－，那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋，因为－＝－＝＜0，所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．2．(2018·苏北四市模拟)已知数列{an}满足an＝3n－2，f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N*.求证：(1)g(2)＞；(2)当n≥3时，g(n)＞.证明：(1)由题意知，an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋，当n＝2时，g(2)＝＋＋＝＋＋＝＞.(2)用数学归纳法加以证明：①当n＝3时，g(3)＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋＞＋＋＝＋＋＞＋＋＞，所以当n＝3时，结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即g(k)＞，则n＝k＋1时，g(k＋1)＝g(k)＋＋＋…＋－＞＋＞＋－＝＋＝＋，由k≥3可知，3k2－7k－3＞0，即g(k＋1)＞.所以当n＝k＋1时，结论也成立．综合①②可得，当n≥3时，g(n)＞.3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值．(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，所以＝b，即＝b，解得r＝－1.(2)证明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·＞.①当n＝1时，左式＝，右式＝，左式＞右式，所以结论成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即··…·＞，则当n＝k＋1时，··…··＞·＝，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，即证≥，由基本不等式得＝≥成立，故≥成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式··…·＞成立．二、重点选做题1．(2018·盐城模拟)记f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)(n≥2，n∈Z)．(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)当n≥2，n∈N*时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．解：(1)因为f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)＝(3n＋2)C，所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.(2)由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．①当n＝2时，f(2)＝8能被4整除，结论成立；②假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C能被4整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C＝(3k＋2)C＋3C＝(3k＋2)(C＋C)＋(k＋2)C＝(3k＋2)C＋(3k＋2)C＋(k＋2)C＝(3k＋2)C＋4(k＋1)C＝f(k)＋4(k＋1)C，此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立．综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.2．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)满足：若a＝1，则b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，则b＝1,2,4,6；若a＝3，则b＝1,3,6.所以f(6)＝13.(2)当n≥6时，f(n)＝(t∈N*)下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立．②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，...
