课时跟踪检测（四十一）空间向量的应用（空间角的求法）一保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥PABCD中，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且＝＝.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；(2)求二面角NPCB的余弦值．解：(1)设AC，BD交于点O，在正四棱锥PABCD中，OP⊥平面ABCD.又PA＝AB＝2，所以OP＝.以O为坐标原点，DA，AB方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0，0，)，AP＝(－1,1，)．故OM＝OA＋AM＝OA＋AP＝，ON＝OB＝，所以MN＝ON－OM＝，PC＝(－1,1，－)，所以cos〈MN，PC〉＝＝，所以异面直线MN与PC所成角的大小为30°.(2)由(1)知PC＝(－1,1，－)，CB＝(2,0,0)，NC＝.设m＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即令y1＝，则z1＝1，即m＝(0，，1)．设n＝(x2，y2，z2)是平面PCN的一个法向量，则即令x2＝2，则y2＝4，z2＝，即n＝(2,4，)，所以cos〈m，n〉＝＝＝，故二面角NPCB的余弦值为.2．(2018·启东检测)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)求二面角APCD的余弦值；(2)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．解：(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，又因为AC⊥AD，故以A为原点，以AD，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Axyz，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)．PC＝(0,1，－2)，CD＝(2，－1,0)．设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，则即不妨令z＝1，可得n＝(1,2,1)，可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．于是cos〈m，n〉＝＝＝.由图知二面角APCD为锐角，所以二面角APCD的余弦值为.(2)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h∈[0,2]．由此得BE＝，由CD＝(2，－1,0)，故cos〈BE，CD〉＝＝＝，所以＝cos30°＝，解得h＝，即AE＝.3．(2019·南通一调)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝PD.(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；(2)求二面角APCD的余弦值．解：(1)如图，分别以AB，AD，SA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2)．设P(x0，y0，z0)，由SP＝SD，得(x0，y0，z0－2)＝(0,2，－2)，所以x0＝0，y0＝，z0＝，则点P的坐标为.故CP＝，AB＝(1,0,0)，设直线AB与CP所成的角为α，则cosα＝＝－.所以直线AB与CP所成角的余弦值为.(2)设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，因为AP＝，AC＝(1,2,0)，所以即令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2,1)，设平面SCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由于DC＝(1,0,0)，DS＝(0，－2,2)，所以即令y2＝1，则z2＝1，n＝(0,1,1)．设二面角APCD的大小为θ(由图可知θ为锐角)，所以cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝，所以二面角APCD的余弦值为.4.如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2)求二面角ODFE的正弦值．解：(1)以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2,0)，P(0,0,4)，D(0，0,2)，E(0,1,2)．设F(x0，y0,0)(x0＞0，y0＞0)，且x＋y＝4.则EF＝(x0，y0－1，－2)，DE＝(0,1,0)．因为EF⊥DE，则EF·DE＝y0－1＝0，故y0＝1.所以F(，1,0)，EF＝(，0，－2)，BD＝(0，－2,2)．设异面直线EF与BD所成角为α，则cosα＝＝＝.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.(2)设平面ODF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝1，得y1＝－，则平面ODF的一个法向量为n1＝(1，－，0)．设平面DEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，因为DE＝(0,1,0)，DF＝(，1，－2)，则即令x2＝1，得z2＝，则平面DEF的一个法向量为n2＝.设二面角ODFE的平面角为β，则|cosβ|＝＝＝，所以sinβ＝.即二面角ODFE的正弦值为.二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2018·镇江高三期末考试)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB...
