(完整word版)2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法VIP专享VIP免费

第1页共16页高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.例1已知点)0,2(A、).0,3(B动点),(yxP满足2xPBPA，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：),3(),,2(yxPByxPA，2)3)(2(yxxPBPA226yxx.由条件，2226xyxx，整理得62xy，此即点P的轨迹方程，所以P的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若bca,,依次构成等差数列，且bca，2AB，求顶点C的轨迹方程.解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意，bca,,构成等差数列，bac2，即4||2||||ABCBCA，又CACB，C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2ca，3b，故C的轨迹方程为)2,0(13422xxyx.三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标yx,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例3如图，从双曲线1:22yxC上一点Q引直线2:yxl的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.解：设),(),(11yx，QyxP，则)2,2(11yyxxN.N在直线l上，.22211yyxx①又lPN得,111xxyy即011xyyx.②CByxOAyQOxNP第2页共16页联解①②得22322311xyyyxx.又点Q在双曲线C上，1)223()223(22xyyx，化简整理得：01222222yxyx，此即动点P的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4已知点)2,3(A、)4,1(B，过A、B作两条互相垂直的直线1l和2l，求1l和2l的交点M的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当ABM为直角三角形时，点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心即为AB的中点)1,1(，半径为25221AB，方程为13)1()1(22yx.故M的轨迹方程为13)1()1(22yx.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标yx,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到yx,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5过抛物线pxy22（0p）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.解：设),(yxM，直线OA的斜率为)0(kk，则直线OB的斜率为k1.直线OA的方程为kxy，由pxykxy22解得kpykpx222，即)2,2(2kpkpA，同理可得)2,2(2pkpkB.由中点坐标公式，得pkkpypkkpx22，消去k，得)2(2pxpy，此即点M的轨迹方程.六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例6如右图，垂直于x轴的直线交双曲线12222byax于M、N两点，21,AA为双曲线的左、右顶点，求直线MA1与NA2的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.xA1A2OyNMP第3页共16页解：设),(yxP及),(),,(1111yxNyxM，又)0,(),0,(21aAaA，可得直线MA1的方程为)(11axaxyy①；直线NA2的方程为)(11axaxyy②.①×②得)(22221212axaxyy③.又,1221221byax)(2122221xaaby，代入③得)(22222axaby，化简得12222byax，此即点P的轨迹方程.当ba时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当ba时，点P的轨迹是椭圆.高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1．（）已知1F、2F是定点，12||8FF，动点M满足12||||8MFMF，则动点M的轨迹是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段2．（）设(0,5)M，(0,5)N，MNP的周长为36，则MNP的顶点P的轨迹方程是（A）22125169xy（0x）（B）221144169xy（0x）（C）22116925xy（0y）（D）221169144xy（0y）3．与圆2240xyx外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4．P在以1F、2F为焦点的双曲线221169xy上运动，则12FFP的重心G的轨迹方程是；5．已知圆C：22(3)16xy内一点(3,0)A，圆C上一动点Q，AQ的垂直平分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为．2214xy6．△ABC的顶点为(5,0)A、(5,0)B，△ABC的内切圆圆心在直线3x上，则顶点C的轨迹方程是；221916xy（3x）第4页共16页变式：...