(完整)高中不等式所有知识及典型例题(超全)VIP专享VIP免费

1一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式1.（1）若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）3.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）4.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a3+b3+c3≥3abc（a,b,cR+）,a+b+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）；6.1n(a1+a2+⋯⋯+an)≥12nnaaaL(aiR+,i=1,2,⋯，n)，当且仅当a1=a2=⋯=an取等号；变式：a2+b2+c2≥ab+bc+ca;ab≤(a+b2)2(a,bR+);abc≤(a+b+c3)3(a,b,cR+)a≤2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22≤b.(0b>n>0,m>0;应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解题技巧：2技巧一：凑项例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求(82)yxx的最大值。技巧三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3．203x，求函数(23)yxx的最大值.条件求最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33和都是正数，ba33≥632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是6．变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。3技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a2＋b22。同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为12，x1＋y2＝x2·1＋y22＝2x·12＋y22下面将x，12＋y22分别看成两个因式：x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤342技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34 t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立...