例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略——谈2008年江苏高考数学试卷第14题摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()fxaxxxR若对于任意1,1x都有()0fx成立，则实数a的值为。解析如下：析：将()0fx中的,ax分离，然后求函数的最值。解：函数3()31()fxaxxxR若对于任意1,1x都有()0fx成立，函数3()31()fxaxxxR对于任意1,0,0,10xxx及其有()0fx都成立。若1,0x，33213()310fxaxxaxx，设1tx则1t3232133(1)tttxx，令323(1)yttt，则'2360ytt323(1)yttt单调递减，32min1(1)3(1)4tyy，4a（1）若0,1x，33213()310fxaxxaxx，设1tx，则1t3232133(1)tttxx，令323(1)yttt，则'2363(2)ytttt，当12t时'0y，323(1)yttt单调递增；当2t时'0y，323(1)yttt单调递减，32max22324tyy，4a（2）若0x则aR，()0fx成立（3）由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略:1、若f(x)≥a对x∈D恒成立，只须f(x)min(x∈D)≥a即可。2、若f(x)≤a对x∈D恒成立，只须f(x)max(x∈D)≤a即可。该题在考查学生基础知识的同时，注意考查了考生的分类讨论的思想、换元的思想等，是一道突出理性思维、考查学生潜能及数学素养的题目。2000年上海高考数学试卷也考了一道不等式恒成立的题目，解析如下已知函数f(x)=xaxx22,x∈),1[.（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意的x∈),1[，0)(xf恒成立，试求a的取值范围。析：由于x∈),1[，0)(xf220xxa化繁为简。解：（1）当21a时，221)(xxxf，)(xf在区间[),1上为增函数，)(xf在区间[),1上的最小值为27)1(f（2）在区间[),1上，02)(2xaxxxf恒成立022axx恒成立，设),1[,22xaxxy，1)1(222axaxxy递增，∴当1x时，ay3min，于是当且仅当03minay时，函数0)(xf恒成立，故3a本题着重考查了函数思想和等价转化的思想。通过对前面的两个高考题的分析我们可以得出结论：解不等式恒成立问题，首先要构建函数模型，然后求这个函数的最值，最后采取不等式恒成立问题的处理策略进行求解。等价转化是思想，构建函数模型是手段，求函数的最值是关键。下面就不等式恒成立问题谈几种解决方法，以期对读者有所启迪。一、直接法例1．已知0,0xy，且211xy，若222xymm恒成立，则实数m的取值范围是．析：本题可利用不等式求最值解：2142(2)()4()8yxxyxyxyxy，而222xymm对0,0xy恒成立，则228mm，解得42m例2．若不等式142xxa≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为。析：本题可转化为求二次函数的最值解：令142,1,2xxyax，则2211,1,24xyaxx而22所以2min(21)1yaa，因不等式142xxa≥0在[1，2]上恒成立所以min0ya，即0a例3．已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ,42x．（1）求()fx的最大值和最小值；（2）若不等式()2fxm在ππ,42x上恒成立，求实数m的取值范围．析：()2()2()2fxmfxmfx，max()2mfx∴且min()2mfx解：（1）π()1cos23cos21sin23cos22fxxxxx π12sin23x．又ππ,42x ，ππ2π2633x∴≤≤，即π212sin233x≤≤，maxmin()3,()2fxfx∴．（2）()2()2()2fxmfxmfx ，ππ,42x，max()2mfx∴且min()2mfx，14m∴，即m的取值范围是(1,4)．二、分离参数法例4．关于x的不等式kxxxx3922在]5,1[上恒成立，则实数a的范围为．析：含参问题的考察始终是高考的热点，要善于对问题先观察思考后动手，避免不必要的麻烦。解析一：两边同除以x，则39xxxk，69xx，03x，当且仅当3x，两等式同时成立，所以3x时，右边取最小值6，6k．解析二：（提示）可分3x1和5x3讨论．求分段函数的最小值．答案：6k．例5．若a,b均为正实数，且abamb恒成立，则m的最小值是析：参数分离abamb1aambb，然后求1aabb的最值，最后采取不等式恒成立问题的处理策略求m的最小值解：因a,b均为正实数，abamb1aambb，根据基本不等式2222()(),(0,0)ababab得2212()(1)2aaaabbbbabamb...
