抽象代数群的定义课件•群的定义及性质•群的基本运算contents•群的同态与同构•群的结构与分类•群的应用与扩展目录01群的定义及性质群的定义集合结合律G的乘法满足结合律，即任意三个元素a,b,c的乘积等于它们的顺序乘积。一个非空集合称为一个群，记作G，其中每个元素称为G中的一个元素或元。映射单位元G中每个元素都可以映射到G上任意一个元素，这种映射称为G的乘法。G中存在一个单位元e，使得任意元素a的乘积等于e与a的乘积。封闭性逆元G的乘法是封闭的，即任意两个元素的乘积仍然属于G。对于任意元素a，存在一个逆元a-1，使得a乘以a-1等于单位元e。群的性质010203交换律恒等元反元素G的乘法满足交换律，即任意两个元素的乘积与它们的顺序无关。G中存在一个恒等元e，使得任意元素a的乘积等于a与e的乘积。对于任意元素a，存在一个反元素a-1，使得a乘以a-1等于单位元e。子群与陪集子群G的一个非空子集H称为G的一个子群，如果H也构成一个群。陪集设H是G的一个子群，g是G的一个元素，记gH={gh|h∈H}为g陪集。02群的基本运算群的乘法运算封闭性结合律群内的元素通过乘法运算相互组合，得到的结果仍然是群内的元素。乘法运算满足结合律，即(ab)c=a(bc)。单位元逆元存在一个元素e，使得对于任何元素a，e*a=a*e=a。对于每个元素a，都存在一个逆元a^-1，使得a*a^-1=a^-1*a=e。群的逆元与单位元逆元每个元素a都有一个逆元a^-1，使得a*a^-1=a^-1*a=e。单位元存在一个元素e，是群中任何元素的单位元，即对于任何元素a，e*a=a*e=a。群的幂运算010203幂运算循环群循环群的性质对于给定的元素a和正整数n，计算a^n。如果存在一个正整数n，使得a^n=e（单位元），则称a是一个循环元。循环群是交换群，即a^k*b^k=(a*b)^k。03群的同态与同构同态的定义及性质同态定义：设G和G'同态的性质1.保持运算：同态映射f保持了G中的运算，即f(a*b)=f(a)*'f(b)。2.保持单位元：如果G有单位元e，那么f(e)=e'。3.保持逆元：如果G中的元素a有逆元b，那么f(a)'=f(b)。是两个群，如果存在一个从G到G'的映射f，使得对于G中的任意元素a和b，都有f(a*b)=f(a)*'f(b)，那么我们称f为同态映射，G和G'之间存在一个同态。同构的定义及性质0102030405同构定义：如果存在一个从G到G'的映射f，使得G和G'之间存在一个双射（即一一对应），并且这个双射保持了G中的运算，那么我们称G和G'同构。同构的性质1.双射对应：同构映射f2.保持运算：同构映射f3.逆映射：如果存在一是一个双射，即一一对应。保持了G中的运算，即f(a*b)=f(a)*'f(b)。个从G到G'的同构映射f，那么一定存在一个从G'到G的逆映射f^-1，使得f*'f^-1=idG和f*'idG'=idG'。群同态的基本例子整数加法群与正整数乘法群之间的同态这是一个从整数加法群Z到正整数乘法群N的映射，将每个整数a映射到它的绝对值a的因数个数。矩阵群与特殊线性群之间的同态给定一个n阶矩阵A，我们可以定义一个从GL(n,R)（所有可逆n阶实矩阵组成的群）到R^n的映射，将A映射到它的特征向量。04群的结构与分类循环群与交换群循环群由一个元素生成的群称为循环群，循环群的性质相对简单，是群论学习的重要基础。交换群若群中任意两个元素的乘积仍等于它们的乘积，则称该群为交换群。交换群的性质相对复杂，是研究群论的重要方向之一。群的直和与直积群的直和若存在有限个群$G_i$，满足$G=\oplus_{i=1}^nG_i$，则称$G$为$G_i$的直和。直和是群的一种重要构造方式。群的直积若存在有限个群$G_i$，满足$G=\prod_{i=1}^nG_i$，则称$G$为$G_i$的直积。直积是群的一种重要构造方式。群的置换表示•置换表示：一种将有限集合的元素进行置换的表示方法，可以看作是置换群的另一种表述方式。通过置换表示，可以将置换群看作是关于置换的函数集合，从而更好地理解置换群的性质。05群的应用与扩展群在密码学中的应用群在密码学中的重要性群论中的一些概念和性质被广泛应用于密码学中，如对称密钥、非对称密钥和哈希函数等。对称密钥加密在对称密钥加密中，使用相同的密钥进行加密和解密，而这个密钥可以通过有限阶乘的群论中的一些性质进行计算。非对称密钥加密在非对称密钥加密中，使用公钥和私钥来进行加密...
