初三数学实际问题中转化思想的运用【本讲主要内容】实际问题中转化思想的运用包括解方程中转化思想的运用，以及解几何问题中转化思想的运用。【知识掌握】【知识点精析】1.解双二次方程中转化思想的运用；2.解分式方程中转化思想的运用；3.解无理方程中转化思想的运用；4.解几何问题中转化思想的运用。【解题方法指导】例1.解方程分析：此题是四次方程，我们通过换元可将它转化为一元二次方程去解，可设。解：设，则得∴∴即由解得由解得∴原方程的解为评析：解高次方程时，利用换元法转化为一元二次方程，从而使“不可解”转化为可解。例2.（2003年天津市）解方程分析：此题是分式方程，若采用去分母的方法，将得到四次方程，增加了解题的难度。观察方程，发现左右都有，于是可通过换元，使分式方程转化为整式方程。解：设，则原方程化为去分母，得即∴代回所设，得即由，无解由∴原方程的解为评析：此题通过换元，使分式方程转化为整式方程，从而简化解题过程。例3.已知，b是a的小数部分，求的值。分析：是一个无理数，它是无限不循环小数，a＝2.236……，由于b是a的小数部分，即b＝0.236……，那么在进行计算时，将十分繁琐。如果我们应用转化的思想，将的小数部分改写成减去它的整数部分，则，从而可以代入求解。解： ，b是它的小数部分∴评析：此题的转化思想运用得很巧妙，它是应用无理数＝整数部分＋小数部分，改写成小数部分＝无理数－整数部分，从而化繁为简，化难为易。例4.已知：如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，平行四边形ABCD的周长为20，面积为18，。求sin∠EDF的值。分析：由平行四边形ABCD的周长为20，且，则它的四条边长都可求出，又由于知道平行四边形ABCD的面积，于是又可求出DE、DF的长，但欲求sin∠EDF的值，需构造出直角三角形，或在图中寻找到与∠EDF相等的角，不难发现∠A＝∠EDF，于是将求sin∠EDF的值，转化为求sinA的值的问题加以解决。解： 平行四边形ABCD的周长为20，AB＝∴AB＋AD＝10代入，得即∴AD＝4，AB＝6又AB·DE＝18，∴DE＝3在平行四边形ABCD中∠B＋∠EDF＝360°－2×90°＝180°∠A＋∠B＝180°∴∠A＝∠EDF∴评析：此题比较巧妙地将求sin∠EDF的值，转化为求sinA的值，从而应用锐角三角函数的定义加以解决，这种通过相等角的转化应用很广泛，要学会应用。【考点突破】【考点指要】转化思想是一种十分重要的数学思想，通过这种转化可以将高次方程转化为低次方程，将分式方程转化为整式方程，将无理方程转化为有理方程，从而将生疏的问题转化为熟练的问题，将复杂的问题转化为简单的问题。在解决几何问题时，又常利用相等线段的转化或相等角的转化，使问题由看来“不可解”转化为“可解”。正因为转化思想的应用广泛性，因此在中考试题中各省市都加大了考试的力度，命题的频率非常高，应引起广大同学的重视。【典型例题分析】例1.（2001年河南）解方程：分析：此题是一个无理方程，若采用方程两边同时平方的方法，将会出现四次方程，观察题目特点，发现根号内有，根号外有，于是可将先化为，再通过换元，转化为有理方程去解。解：原方程变形为设，则则原方程化为解得当y＝3时，∴得解得当y＝－1时，方程无解经检验，是原方程的解评析：此题通过换元，将无理方程转化为有理方程，从而使方程易解。此题解题方法不唯一。例2.已知求的值。分析：若解关于a的方程，关于b的方程，然后代入求值，由于出现无理根，解法将会很繁琐。认真分析所给的两个方程，发现a、b是方程的两个根，由一元二次方程根与系数的关系，得出，再代入求值便会变得十分简单。解： ∴a、b是方程的两个根由一元二次方程根与系数关系，得∴评析：此题解法很巧妙，是由转化为a、b是方程的两个根，从而用一元二次方程根与系数关系求解，这种转化的方法很特殊，可以仔细加以体会。例3.已知：如图，AB是⊙O直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于D，E是弧AD上一点，且∠EAD＝∠CAB，又。求DE的长。分析：由于DE是⊙O的一条弦，它又是斜三角形的一条边，求它的长度存在一定的困难。由条件中∠EAD＝∠CAB，可知弧DE＝弧DB，于是可得DE＝DB，这样，求DE的长的问题便转化为求DB...
