33全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第十三讲：联赛训练之平面图形立体图形空间向量一,基础知识导引<一>,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1,运用定义证明(有时要用反证法);2,运用平行关系证明;3,运用垂直关系证明;4,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.例如,在证明:直线a直线b时.可以这样考虑(1),运用定义证明直线a与b所成的角为090;(2),运用三垂线定理或其逆定理;(3),运用“若a平面,b,则ab”;(4),运用“若//bc且ac,则ab”;(5),建立空间直角坐标系,证明0abvv.<二>,空间中的角和距离的计算1,求异面直线所成的角(1),(平移法)过P作'//aa,'//bb,则'a与'b的夹角就是a与b的夹角;(2),证明ab(或//ab),则a与b的夹角为090(或00);(3),求av与bv所成的角([0,]),再化为异面直线a与b所成的角((0,]2).2,求直线与平面所成的角(1),(定义法)若直线a在平面内的射影是直线b,则a与b的夹角就是a与的夹角;(2),证明a(或//a),则a与的夹角为090(或00);(3)求av与的法向量nv所成的角,则a与所成的角为090或090.3,求二面角(1),(直接计算)在二面角AB的半平面内任取一点PAB,过P作AB的垂线,交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则CDAB,故PCD为所求的二面角.(2),(面积射影定理)设二面角AB的大小为(090),平面内一个平面图形F的面积为1S,F在内的射影图形的面积为2S,则21cosSS.(当为钝角时取“”).(3),(异面直线上两点的距离公式):22222cosEFdmnmn,其中是二面角AB的平面角,EA在半平面内且EAAB于点A,BF在半平面内且FB34AB于B,而ABd,EAm,FBn.(4),(三面角的余弦定理),三面角SABC中,BSC,CSA,ASB,又二面角BSAC,则coscoscoscossinsin.(5),(法向量法)平面的法向量1nuv与平面的法向量2nuuv所成的角为,则所求的二面角为(同类)或(异类).4,求两点A,B间距离(1),构造三角形进行计算;(2),导面直线上两点间的距离公式;(3),求ABuuuv.5,求点到直线的距离(1),构造三角形进行计算;(2),转化为求两平行红色之间的距离.6,求点到平面的距离(1),直接计算从点到平面所引垂线段的长度;(2),转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(3),(体积法)转化为求一个棱锥的高3VhS,其中V为棱锥体积,S为底面面积,h为底面上的高.(4),在平面上取一点A,求APuuuv与平面的法向量n的夹角的余弦cos,则点P到平面的距离为cosdAPuuuv.7,求异面直线的距离(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长;(2)(体积法)转化为求几何体的高;(3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;(5)(射影法)如果两异面直线,ab在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线l,则a与b的距离等于P到l的距离;(6)(公式法)22222cosdEFmnmn.8,求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.<三>,多面体与旋转体1,柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积Scl侧(c为直截面周长,l为侧棱或母线长)(2)体积VSh(S为底面积,h为高)2,锥体(棱锥与圆锥)(1)正棱锥的侧面积'12Sch侧(c为底面周长,'h为斜高)(2)圆锥的侧面积:Srl侧(r为底面周长,l为母线长)(3)锥体的体积:13VSh(S为底面面积,h为高).3,锥体的平行于底面的截面性质:23111123,ShVhShVh.35ABCD4,球的表面积:24SR;球的体积:343VR.二,解题思想与方法导引1,空间想象能力;2,数形结合能力;3,平几与立几间的相互转化;4,向量法三,习题导引<一>,选择题1,正四面体的内切球和外接球的半径之比为A,1:2B,1:3C,1:4D,1:92,由曲线24xy,24xy,4x,4x围成的图形绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为1V;满足2216xy,22(2)4xy,22(2)4xy的点(,)xy组成的图形绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为2V,则A,1212VVB,1223VVC,12VVD,122VV3,如右图,底面半径1r,被过A,D两点的倾斜平面所截,截面是离心率为22的椭圆,若圆柱母线截后最短处1AB,则截面以下部分的几何体体积是A,32B,2C,D,2(1)24,在四面体ABCD中,设1AB,3CD,直线AB与CD的距离为2,夹角为3,则四面体ABCD的体积等于A,32B,12C,13D,335,三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1,那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是A,21B,212C,512D,5146,四面体ABCD的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点...
