第三章微分中值定理与导数的应用第三讲微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式习题课教学目的通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识．教学重点对知识的归纳总结．教学难点典型题的剖析．教学过程一、知识要点回顾1．费马引理．2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．3．微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧?AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB．4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的．即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立．如，函数2,01,0,1xxfxx在1,0上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的．而函数21,11,1,1xxfxx在1,1上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的．5．泰勒中值定理和麦克劳林公式．6．常用函数xe、xsin、xcos、)1ln(x、)1(x的麦克劳林公式．7．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系．8．00、、0、、00、1、0型未定式．9．洛必达法则．10．0、00、1、0型未定式向00或型未定式的转化．二、练习1.下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？由于xf、xF在ba,上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点ba,，使得abfafbf',1abFaFbF.2又对任一,,()0xabFx，所以上述两式相除即得FfaFbFafbf.答上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数xf和xF，拉格朗日中值定理公式中的未必相同．也就是说在ba,内不一定存在同一个，使得1式和2式同时成立．例如，对于2xxf，在1,0上使拉格朗日中值定理成立的21；对3xxF，在1,0上使拉格朗日中值定理成立的33，两者不等．2.设函数xfy在区间1,0上存在二阶导数，且xfxxFff2,010.试证明在1,0内至少存在一点，使0F．还至少存在一点,使()0F分析单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知，010FF，且xF在1,0上满足罗尔定理的前两个条件，故在1,0内至少存在一点，使0F．至于后一问，首先得求出xF，然后再考虑问题．xfxxxfxF22，且00F．这样根据题设，我们只要在,0上对函数xF再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论．证由于()yfx在1,0上存在二阶导数，且10FF，xF在1,0上满足罗尔定理的条件，故在1,0内至少存在一点，使0F．由于xfxxxfxF22，且00F，xF在,0上满足罗尔定理的条件，故在,0内至少存在一点，使0F．由于1,0,0，所以1,0．3.设12,,,naaaL为满足方程112110321nnaaanL的实数，试证明方程12coscos3cos210naxaxanxL在2,0内至少有一个实根．分析证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题，就同学们目前所掌握的知识来看主要有两种方法，一种是用零点定理，另一种是用罗尔定理.要用零点定理,函数xnaxaxaxfn12cos...3coscos21，需要满足在2,0上连续，且020ff．但02f，因此这种方法并不能直接应用．换一种方法，就应考虑罗尔定理，而要用罗尔定理解决上述问题，就得设12coscos3cos21nFxaxaxanxL，并将xF的原函数xF求出来，然后对原函数xF应用罗尔定理．在这个问题中xF的原函数求起来很容易，21sinsin3sin21321naaFxaxxnxnL．求出xF后，根据题设条件，对xF在2,0上应用罗尔定理即可得到所要的结论．证引入辅助函数21sinsin3sin21321naaFxaxxnxnL．因为xF在2,0上连续，在2,0内可导，00F，1121102321nnaFaanL，所以由罗尔定理知，在2,0内至少存在一点，使得0F，即12coscos3cos210naaanL.于是方程12coscos3cos210naxaxanxL在2,0内至少有一个实根．4.设函数xf在2,2上可导，且02,20,02fff．试证明曲线弧C：22yfxx上至少有一点处的切线平行于直线012yx．分析由于直线012yx的斜率为21，所以上述命题的本质是要证明在2,2内存在一点，使得21f．由于212xfxxf，因此若设2xxfxF，则要证上述命题，只须证明在2,2内存在一点，使得0F即可．这是一个用罗尔定理解决的问题．xF在2,2上满足罗尔定理的前两个条件没问题，只是由题设我们还不能直接得到xF所满足的是罗尔定理的第三个条件.但是我们注意()Fx在2,2上连续，而12,20,12FFF，且1介于-1...
