1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.(×)(2)平面的单位法向量是唯一确定的.(×)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(√)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.(√)(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行.(×)(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.(×)1.平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.答案4解析 α∥β，∴两平面法向量平行，∴＝＝，∴k＝4.2.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是________.①(－1,1,1)②(1，－1,1)③(－，－，－)④(，，－)答案③解析设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得∴x＝y＝z.③正确.3.已知直线l的方向向量为v＝(1,2,3)，平面α的法向量为u＝(5,2，－3)，则l与α的位置关系是____________.答案l∥α或l⊂α解析 v·u＝0，∴v⊥u，∴l∥α或l⊂α.4.(教材改编)设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________.答案α⊥βα∥β解析当v＝(3，－2,2)时，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β.当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β.5.(教材改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.答案垂直解析以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，M(0,1，)，O(，，0)，N(，0,1)，AM·ON＝(0,1，)·(0，－，1)＝0，∴ON与AM垂直.题型一利用空间向量证明平行问题例1如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.证明 平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0).∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)，设PB＝sFE＋tFG，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴解得s＝t＝2.∴PB＝2FE＋2FG，又 FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面. PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.引申探究本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.证明 EF＝(0,1,0)，BC＝(0,2,0)，∴BC＝2EF，∴BC∥EF.又 EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.思维升华(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC...
