（江苏专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直练习 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为________.解析由条件知AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，设a＝(x，y，z)，则有解得a＝±(1，1，1).答案(1，1，1)或(－1，－1，－1)2.若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是________.解析 AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案平行或在平面内3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，给出下列四点：①P(2，3，3)；②P(－2，0，1)；③P(－4，4，0)；④P(3，－3，4).则上述点P中，在平面α内的是________(填序号).解析逐一验证法，对于①，MP＝(1，4，1)，∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.答案①4.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.解析 a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4.答案－45.设点C(2a－1，a＋1，2)在点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________.解析PA＝(－1，－3，2)，PB＝(6，－1，4).根据共面向量定理，设PC＝xPA＋yPB(x，y∈R)，则(2a－1，a＋1，2)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4)＝(－x＋6y，－3x－y，2x＋4y)，∴解得x＝－7，y＝4，a＝16.答案166.已知直线l的方向向量为ν＝(1，2，3)，平面α的法向量为u＝(5，2，－3)，则l与α的位置关系是________.解析 ν·u＝0，∴ν⊥u，∴l∥α或l⊂α.答案l∥α或l⊂α7.(2016·青岛模拟)已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.解析由条件得解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝.答案8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的序号是________.解析 AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确.又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确.由于BD＝AD－AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误.答案①②③二、解答题9.(2016·北京房山区一模节选)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0).(1) PB＝(2，0，－2)，EH＝(1，0，－1)，∴PB＝2EH，∴PB∥EH. PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)PD＝(0，2，－2)，AH＝(1，0，0)，AF＝(0，1，1)，∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD⊥AF，PD⊥AH，又 AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.10.(2016·南京调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.(1)证明 PA＝AD＝1，PD＝，∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.(2)解以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E，AC＝(1，1，0)，AE＝.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，则n＝(－1，1，－2).假设侧棱PC上存在一点F，且CF＝λCP(0≤λ≤1)，使得BF∥平面AEC，则BF·n＝0.又 BF＝BC＋CF＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，∴BF·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为________.解析设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面...