第22讲三角函数应用题1.(2018苏州学业阳光指标调研)如图,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C之间的距离为100km,海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西θ角(α<θ≤π2,其中锐角α的正切值为12)航行到海滨公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h,车速为75km/h.(1)试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式;(2)试确定使所用时间最少的登陆点P的位置,并说明理由.2.如图,有一椭圆形花坛,O是其中心,AB是椭圆的长轴,C是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道,拟在AB上选两点E,F,使OE=OF,沿CE、CF、FA铺设管道,设∠BFC=θ,若OA=20m,OC=10m,(1)求管道长度u关于角θ的函数;(2)求管道长度u的最大值.3.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机降落准确、安全地降落,在门诊楼AB和综合楼CD的楼上安装导航标志,已知两楼的地面距离AC=50m,在A,C之间取一导航标志观测点P,当点P在AC中点时,测得两楼顶导航标志的张角∠BPD=45°,若∠ACB=45°.(1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD;(2)要使在点P处看两楼顶导航标志的张角∠BPD最大,点P应在何处?答案精解精析1.解析(1)由题意,船航行的方位角为θ,所以∠BAP=90°-θ,AB=50km,则AP=50cos(90°-θ)=50sinθkm,BP=50tan(90°-θ)=50sin(90°-θ)cos(90°-θ)=50cosθsinθkm,∴PC=100-BP=(100-50cosθsinθ)km,由A到P所用的时间为t1=AP25=2sinθ,由P到C所用的时间为t2=100-50cosθsinθ75=43-2cosθ3sinθ,所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为f(θ)=t1+t2=2sinθ+43-2cosθ3sinθ=6-2cosθ3sinθ+43,函数f(θ)的定义域为(α,π2],其中锐角α的正切值为12,(2)由(1),f'(θ)=6-18cosθ9sin2θ,令f'(θ)=0,解得cosθ=13,设θ0∈(0,π2],其中cosθ0=13,列表如下:θ(α,θ0)θ0(θ0,π2)f'(θ)-0+f(θ)减函数极小值增函数所以,当θ=θ0时,函数f(θ)取得最小值,此时BP=50cosθ0sinθ0=25√22≈17.68km.答:在BC上选择距离B点17.68km处为登陆点,所用时间最少.2.解析(1)因为CF=10sinθ,OF=10tanθ,AF=20-10tanθ,由OE=OF,知,CE=CF,所以u(θ)=CE+CF+AF=20sinθ+20-10tanθ=20+20-10cosθsinθ,其中00,函数u(θ)为增函数,当120恒成立,所以tan∠BPD=f(t)>0,从而∠BPD∈(0,π2),而正切函数在(0,π2)上为增函数,所以当f(t)取最大值时,∠BPD也最大.
