第31课平面向量的数量积与平面向量应用[最新考纲]内容要求ABC平面向量的数量积√平面向量的平行与垂直√平面向量的应用√1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作向量a和b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤·1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．()(2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.()(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.()(4)在四边形ABCD中，AB＝DC且AC·BD＝0，则四边形ABCD为矩形.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝________.30°[因为BA＝，BC＝，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA||BC|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.]4．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝________.1[法一： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.－[ a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.]平面向量数量积的运算(1)(2014·江苏高考)如图311，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．图311(1)22(2)11[(1)由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.因为AP·BP＝2，所以·＝2，即AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AD2＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.(2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE·DC的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，所以DE·CB＝|CB|·1＝1，当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC＝1，所以(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.][规律方法]1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．[变式训练1](2017·启东中学高三第一次月考)如图312，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝3，AD＝，E为BC中点，若AB·AC＝3，则AE·BC＝________.【导学号：62172166】图312－3[以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设CD＝x，则AB＝(3,0)，AC＝(x，)，由AB·AC＝3解得x＝1.所以AE＝，BC＝(－2，)，所以AE·BC＝－3.]平面向量数量积的性质角度1平面向量的模(1)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝________.(2)已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0，则|b－c|的最大值是________．(1)2(2)＋1[(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·...
