第七章数列、推理与证明第36课数列求和课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于________．n2＋1－[该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.]2．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为________．120[{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.]3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里．96[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．]4．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于________.【导学号：62172197】7[根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.]5．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N＋，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017＝________.－1[由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.∴an＝＝＝－，S2017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.]6．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N＋，则S2016＝__________.0[an＝sin，n∈N＋，显然每连续四项的和为0.S2016＝S4×504＝0.]7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.【导学号：62172198】2n＋1－2[ an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.]8．设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N＋)，则数列的前n项和为__________．[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]9．(2017·南通三模)设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N＋)，则(akak＋1)的值为________．[ (1－an＋1)(1＋an)＝1，∴an－an＋1＝anan＋1，∴－＝1.又a1＝1，∴＝1，∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1＋(n－1)×1＝n.∴an＝.∴ak·ak＋1＝＝－，∴(akak＋1)＝a1a2＋a2a3＋…＋a100a101＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.]10．(2017·苏州模拟)已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时的n的值为________．5或6[由a5＝15，a10＝－10，得d＝＝＝－5，则an＝a5＋(n－5)×(－5)＝40－5n，∴an＋5＝40－5(n＋5)＝15－5n，∴Tn＝＝165－30n.当|Tn|＝0时，n＝，又n∈N＋故当n＝5或6时，|Tn|取得最小值．]二、解答题11．已知数列{an}满足a1＝1，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn<2.【导学号：62172199】[解](1) 当n≥2时，由(n＋1)an＝(n－1)an－1，得＝，＝，…，＝.将上述式子相乘得＝.又a1＝＝1，∴an＝.(2)证明： an＝＝2，∴Sn＝2＝2＝2－，∴Sn<2.12．(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．[解](1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.B...
