（江苏专用）高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第42课 数列的求和 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第42课数列的求和(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P57例3改编)数列1，2，3，4，…的前n项和为.【答案】+1-【解析】Sn=(1+2+3+…+n)+（+++…+）=+1-.2.(必修5P55练习4改编)求和：=.【答案】2101【解析】1+2+…+10=55，2+22+…+210=2046.所以(k+2k)=2101.3.(必修5P68复习题2改编)已知数列{an}的通项公式为an=，那么数列{an}的前n项和为.【答案】-14.(必修5P68复习题13改编)数列的前n项和Sn=.【答案】【解析】=-，Sn=1-=.5.(必修5P68复习题12改编)数列的前n项和Tn=.【答案】3-【解析】由an=(n+1)·，得Tn=2×+3×+4×+…+(n+1)①，Tn=2×+3×+4×+…+(n+1)×②，由①-②，得Tn=1+++…+-(n+1)·=1+-(n+1)·=-.所以Tn=3-.1.常用的一般数列的求和方法(1)公式法：若可以判断出所求数列是等差或等比数列，则可以直接利用公式进行求和.若数列不是等差数列，也不是等比数列，有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和.(2)分组转化法：把数列的每一项拆成两项的差(或和)，或把数列的项重新组合，使其转化为等差或等比数列.(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项的差(或和)，使求和时出现的一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾两项或少数几项的和(差).(4)倒序相加法：把Sn中项的顺序首尾颠倒过来，再与原来顺序的Sn相加.这种方法体现了“补”的思想，等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的.事实上，如果一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来，那么这样的数列就可以用倒序相加法求和.(5)错位相减法：数列{anbn}的求和问题应用此法，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列.2.几种常见类型的处理(1)形如an±bn的形式方法：分组求和法.(2)形如或等形式方法：采用裂项相消法.(3)形如anbn的形式(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)方法：采用错位相减法.(4)首尾对称的两项和为定值的形式方法：倒序相加法.(5)正负交替出现的数列形式方法：并项相加法.【要点导学】要点导学各个击破利用“分组转化法”求和例1已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=+(-1)nan，求数列{bn}的前2n项和.【思维引导】(1)由Sn求an，需利用an=Sn-Sn-1(n≥2)，最后要注意验证第一项是否符合公式；(2)由(1)可知bn为2n与(-1)n·n两数列之和，故采用分组求和的方法求解.【解答】(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n；当n=1时，a1=S1=1，符合上式.所以数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)得bn=2n+(-1)n·n，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n=(21+22+…+22n)+[-1+2-3+4-…-(2n-1)+2n]=22n+1-2+n.【精要点评】本题中bn是由一个摆动数列、一个等比数列相加而成，适用于分组求和，当一个数列是由两个不同类型的数列相加而成时，我们将它们分组、分别求和.变式(2015·福建卷)在等差数列{an}中，已知a2=4，a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=+n，求b1+b2+b3+…+b10的值.【解答】(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=+=(211-2)+55=211+53=2101.例2(2014·苏州暑假调查)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*满足2Sn=an(an+1)，且an≠0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn=求数列{cn}的前2n项和T2n.【解答】(1)因为2Sn=an(an+1)，①所以当n≥2时，2Sn-1=an-1(an-1+1).②①-②得2an=-+an-an-1，即(an+an-1)(an-an-1-1)=0.若an-an-1-1=0，当n≥2时，有an-an-1=1，又当n=1时，由2S1=a1(a1+1)及a1≠0，得a1=1，所以数列{an}是等差数列，其通项公式为an=n(n∈N*).若an+an-1=0，an=综上，数列{an}的通项公式为an=n或an=(2)当an=n时，cn=所以T2n=(2+4+…+2n)+3×(21+23+…+22n-1)+n=n(n+1)+3×+n=22n+1+n2+2n-2.当an=时，cn=所以T2n=n(-1+7)=6n.综上，T2n=22n+1+n2+2n-2或T2n=6n.【精要点评】由Sn求an时，首先求出a1，再由an=Sn-Sn-1(n≥2)求an，但这样求得的an是从第2项开始的，未必是数列的通项公式，所以必须验证a1是否适合，若适合，则写成an=Sn-Sn-1(n∈N*)，否则，则用分段函数的形式表示为an=利用“倒序相...