训练目标(1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理．训练题型(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用．解题策略(1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB＋BC＝AC，OM－ON＝NM联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.1．(2016·佛山期中)已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP＝MN，则点P的坐标是______________．2．(2016·南京一模)在△ABC中，BD＝2DC.若AD＝λ1AB＋λ2AC，则λ1λ2的值为______________．3．(2016·山西大学附中期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的值为________．4．(2016·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点，且满足OA＋λOB＋(1＋λ)OC＝0，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为________．5.如图，在△ABC中，AD＝AC，BP＝BD，若AP＝λAB＋μAC，则的值为________．6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．7．(2016·湖北七校联考)在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝2DC，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是________．8．(2016·常州一模)在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，设AB＝a，AC＝b，则AG＝______________.(用a，b表示)9．(2016·南京二模)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.10．(2016·苏北四市一模)在△ABC中，已知AC＝3，∠A＝45°，点D满足CD＝2DB，且AD＝，则BC的长为________．11．若P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝______________.12．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是__________．13．(2016·厦门适应性考试)如图，在△ABC中，AD·BC＝0，BC＝3BD，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N.若AM＝λAB，AN＝μAC(λ＞0，μ＞0)，则λ＋2μ的最小值是______________．14.(2016·沈阳期中)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E、F分别为AB、BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动(如图所示)．若AP＝λED＋μAF，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是______________．答案精析1．(－1，－)2.3.－4.5．3解析∵AP＝AB＋BP，BP＝BD＝AD－AB＝×AC－AB＝AC－AB，∴AP＝AB＋AC－AB＝AB＋AC.又AP＝λAB＋μAC，∴λ＝，μ＝，∴＝×＝3.6.解析如图，DE＝BE－BD＝BC－BA＝(AC－AB)＋AB＝(－)AB＋AC，又DE＝λ1AB＋λ2AC，且AB与AC不共线，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.7．(0，)解析因为O在线段CD上，且BD＝2DC，设BO＝λBC，且＜λ＜1，则AO－AB＝λ(AC－AB)，即AO＝(1－λ)AB＋λAC.又AO＝xAB＋(1－x)AC，则x＝1－λ∈(0，)．8.a＋b解析AG＝AB＋BG＝AB＋λBE＝AB＋(BA＋BC)＝(1－)AB＋(AC－AB)＝(1－λ)AB＋AC＝(1－λ)a＋b，又AG＝AC＋CG＝AC＋mCF＝AC＋(CA＋CB)＝(1－)AC＋(AB－AC)＝(1－m)AC＋AB＝a＋(1－m)b，所以所以λ＝m＝，所以AG＝a＋b.9.解析根据向量加法的平行四边形法则可知BE＝(BA＋BO)＝BA＋BO＝BA＋BD，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.10．3解析以A为坐标原点，AC的方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则C(3,0)，设B(x，x)(x＞0)，则由CD＝2DB，得D(，)，由AD＝，得x＝3，所以BC＝＝3.11．{(－13，－23)}解析P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则解得此时a＝b＝(－13，－23)．12．k＝1解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB，AC共线，因为AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.13.解析AD＝AB＋BD＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.设AD＝xAM＋yAN(x＋y＝1)，则AD＝xλAB＋yμAC，则即故λ＋2μ＝＝≥＝.当且仅当x＝y＝时，等号成立．14．[－1,1]解析设∠PAE＝α，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(1.5,0.5)，P(cosα，sinα)(0°≤α≤90°)．∵AP＝λED＋μAF，∴(cosα，sinα)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)，∴cosα＝－λ＋1.5μ，sinα＝λ＋0.5μ，∴λ＝(3sinα－cosα)，μ＝(cosα＋sinα)，∴2λ－μ＝sinα－cosα＝sin(α－45°)．∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°，∴－≤sin(α－45°)≤，∴－1≤sin(α－45°)≤1.∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．
