（江苏专用）高考数学专题复习 专题8 立体几何 第53练 高考大题突破练——立体几何练习 文-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

1．(2016·全国乙卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的投影为点D，点D在平面PAB内的投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．2．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；(2)点F在BE上，若DE∥平面ACF，求的值．3．(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.4．如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积．答案精析1．(1)证明因为P在平面ABC内的投影为D，所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的投影为E，所以AB⊥DE.因为PD∩DE＝D，PD，DE都在平面PED内，所以AB⊥平面PED，又PG在平面PGD内，故AB⊥PG.又由已知可得PA＝PB，从而G是AB的中点．(2)解在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，PC∩PA＝P，PC与PA都在平面PAC中，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的投影．连结CG，因为P在平面ABC内的投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.2．(1)证明因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面BCE.因为EC⊂平面BCE，所以EC⊥AB.因为EC⊥BE，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE＝B，所以EC⊥平面ABE.因为EC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE.(2)解如图，连结BD交AC于点O，连结OF.因为DE∥平面ACF，DE⊂平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE∥OF.又因为在矩形ABCD中，O为BD的中点，所以F为BE的中点，即＝.3．证明(1)由已知得，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，A1B1⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，A1F⊂平面A1C1F，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，A1C1⊂平面A1C1F，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.4．(1)证明在图1中，因为AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°.因为CD为∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝2.又因为CE＝4，∠DCE＝30°，所以由余弦定理得，DE＝2.则CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD.在图2中，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，所以DE⊥平面BCD.(2)解在图2中，因为EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG.因为点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，所以AE＝EG＝CG＝2.过点B作BH⊥CD于点H.因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，BH⊂平面BCD，所以BH⊥平面ACD.由条件得BH＝.又S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin30°＝，所以三棱锥B－DEG的体积为V＝S△DEG·BH＝××＝.