（江苏专用）高考数学专题复习 专题8 立体几何与空间向量 第55练 高考大题突破练——立体几何练习 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

1．(2016·全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值．2．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．3.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．4．(2016·浙江)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值．答案精析1．(1)证明由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，DF，FE都在平面EFDC中，所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角CBEF的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C(－2,0，)．所以EC＝(1,0，)，EB＝(0,4,0)，AC＝(－3，－4，)，AB＝(－4,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n＝(3,0，－)．设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m＝(0，，4)，则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角EBCA的余弦值为－.2．(1)证明设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A－xyz，如图．则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，，0)．∴CM＝(1，－1，)，SN＝(－，－，0)，∴CM·SN＝－＋＋0＝0，∴CM⊥SN，即CM⊥SN.(2)解由(1)得NC＝(－，1,0)．设平面CMN的一个法向量为a＝(x，y，z)，则得∴可取a＝(2,1，－2)．设SN与平面CMN所成的角为θ，∵sinθ＝|cos〈a，SN〉|＝＝＝，∵直线与平面所成的角属于[0°，90°]，∴θ＝45°，即SN与平面CMN所成角为45°.3．(1)证明由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.(2)解方法一过点C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C－xyz.∵AB＝2，AC＝1，∴BC＝.∵PA＝1，∴A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．∴CB＝(，0,0)，CP＝(0,1,1)，AP＝(0,0,1)，AB＝(，－1,0)．设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即不妨令y1＝1，则n1＝(0,1，－1)．设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则，即不妨令x2＝1，则n2＝(1，，0)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.∴所求二面角C－PB－A的余弦值为.方法二如图，过点C作CM⊥AB于M.∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PA⊥CM，又PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，故CM⊥平面PAB.过点M作MN⊥PB于N，连结NC，由三垂线定理得CN⊥PB，∴∠CNM为二面角C－PB－A的平面角．在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝.在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.∵Rt△BNM∽Rt△BAP.∴＝，∴MN＝.在Rt△CNM中，CN＝，∴cos∠CNM＝，∴所求二面角C－PB－A的余弦值为.4．(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，且CK∩AC＝C，CK，AC都在平面ACFD内，所以BF⊥平面ACFD.(2)解方法一过点F作FQ⊥AK于点Q，连结BQ.因为BF⊥平面ACFD，AK在平面ACFD内，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，BQ在平面BQF内，所以BQ⊥AK.又BF，FQ⊂平面ACFD，BF∩FQ＝F，所以∠BQF是二面角BADF的平面角．在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得FQ＝.在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，得cos∠BQF＝.所以二面角BADF的平面角的余弦值为.方法二如图则△BCK为等边三角形．取BC的中点O，连结KO，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.由题意得B(1,0,0)，C(－1,0,0)，K(0,0，)，A(－1，－3，0)，E，F.因此AC＝(0,3,0)，AK＝(1,3，)，AB＝(2,3,0)．设平面ACK的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n＝(x2，y2，z2)．由得取m＝(，0，－1)；由得取n＝(3，－2，)．于是cos〈m，n〉＝＝.所以二面角BADF的平面角的余弦值为.