第42练数列的概念与简单表示法[基础保分练]1.数列，－，，－，…的第5项是________.2.在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝________.3.已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2019的值为________.4.设数列{an}的通项公式为an＝，－3是数列的第________项.5.数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，a3＝________.6.已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项为第________项.7.数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大.8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a，a2＝a2，an＋2＝an＋1－an，S56＝6，则a＝________.9.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为____________.10.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，给出下列说法：①数列{an}中的最大项和最小项分别是a10，a9；②数列{an}中的最大项和最小项分别是a9，a10；③数列{an}中的最大项和最小项分别是a1，a9；④数列{an}中的最大项和最小项分别是a1，a10.其中，说法正确的是________.(填序号)[能力提升练]1.已知数列：，，，，，，，，，…，根据它的前9项的规律，这个数列的第30项为________.2.已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是________.3.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1，若不等式2n2－n－3<(5－λ)an对∀n∈N*恒成立，则整数λ的最大值为________4.(2019·盐城期中)已知数列{an}满足2anan＋1＋an＋3an＋1＋2＝0，其中a1＝－，设bn＝，若b3为数列{bn}中唯一最小项，则实数λ的取值范围是________.5.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意n∈N*，Sn∈{2,3}，则称这个数列为“有限和数列”，试写出一个“k最大的有限和数列”________.6.正整数数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝将数列{an}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{nk}，k∈N*，nk＋1＝________________.(用nk表示)答案精析基础保分练1.2.193.4.95.66.167.10或11解析∵an＝－n2＋10n＋11，∴a1＝20>0，an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，当(n－5)2<36时，an＝－(n－5)2＋36>0，当(n－5)2>36时，an＝－(n－5)2＋36<0，当n＝11时，an＝0，∴当Sn最大时，有n＝10,11.8.－3或2解析由题设可得an＋3＝an＋2－an＋1，即an＋3＝－an，故an＋6＝an，而a1＝a，a2＝a2，a3＝a2－a1＝a2－a，a4＝－a1＝－a，a5＝－a2，a6＝a5－a4＝－a2＋a，所以S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，而56＝6×9＋2，所以S56＝a1＋a2＝a＋a2＝6，解得a＝－3，a＝2.9.an＝2n－1110.①解析已知an＝＝1＋(n∈N*)，设f(x)＝1＋，∵－>0，∴f(x)在(0，)和(，＋∞)上都是减函数.大致图象如图所示.∴当n＝9时，an取得最小值；当n＝10时，an取得最大值.故填①.能力提升练1.2解析数列可看成，，，，，，，，，…，以此类推，第N大项为，，…，(N≥2，N∈Z)，共有N＋1小项，完整前N大项共有小项个数为2＋3＋…＋N＋1＝，当N＝6时，共27项，故这个数列的第30项为第7大项中的第3小项，即为＝2.2.(－∞，6)3.4解析当n＝1时，S1＝2a1－22，得a1＝4；当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，∴an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n，∴－＝1.又＝2，∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，＝n＋1，即an＝(n＋1)·2n.∵an>0，∴不等式2n2－n－3<(5－λ)an，等价于5－λ>.记bn＝，当n≥2时，bn>0，＝＝.∴当n≥3时，<1，又b1<0，b2，即λ<5－＝，∴整数λ的最大值为4.4.(5,7)解析因为2anan＋1＋an＋3an＋1＋2＝0，所以2(an＋1)(an＋1＋1)－an＋an＋1＝0，2(an＋1)(an＋1＋1)－(an＋1)＋(an＋1＋1)＝0，－＝2，所以＝＋2(n－1)＝＋2(n－1)＝2n，bn＝＝2n(n－λ)，因此要使b3为数列{bn}中唯一最小项，需∈，所以λ∈(5,7).5.2,1，－1,0，…解析可以先写3，再写后一项为－1,1,0，－1，…，即最多有4个不同的数字，本题可以有无数个解.6.nk＋1＝3nk＋1，或nk＋1＝nk＋3k(k＝1,2,3…)解析因为a1＝1，n≥1，a2＝1＋1＝2，a3＝2＋2＝4，由题设可知an＋1＝1⇒an＝n＋1，而通过计算不难看出其规律：要么被3整除余1，即3nk＋1的形式，要么是3k＋nk的形式，故nk＋1＝3nk＋1，或nk＋1＝nk＋3k(k＝1,2,3，…).
