第62练高考大题突破练—立体几何[基础保分练]1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，点M在棱PD上，AM⊥PD，点N是棱PC的中点，求证：(1)MN∥平面PAB；(2)AM⊥平面PCD.2.(2019·扬州调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，AB＝BC＝AD＝1，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：PD⊥AB；(2)点M在棱PC上，且CM＝λCP，若三棱锥D－ACM的体积为，求实数λ的值.3.(2019·淮安模拟)如图，在四棱锥A－BCDE中，AB⊥AC，底面BCDE为直角梯形，∠BCD＝90°，O，F分别为BC，CD中点，且AB＝AC＝CD＝2BE＝2，AF＝.(1)求证：OA⊥平面BCDE；(2)若P为线段CD上一点，且OP∥平面ADE，求的值；(3)求四棱锥A－BCDE的体积.[能力提升练]4.(2019·徐州质检)如图，在棱长为2的正方体ACBD－A1C1B1D1中，M是线段AB上的动点.(1)证明：AB∥平面A1B1C；(2)若点M是AB的中点，证明：平面MCC1⊥平面ABB1A1；(3)求三棱锥M－A1B1C的体积.答案精析基础保分练1.证明(1)因为在△PAD中，AP＝AD，AM⊥PD，所以点M是棱PD的中点.又点N是棱PC的中点，所以MN是△PDC的中位线，所以MN∥DC.因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.因为PD⊥AM，CD⊥AM,CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD.2.(1)证明取AD的中点O，连结OC，OP，∵△PAD为等边三角形，且O是边AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，且它们的交线为AD，又PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∴BA⊥PO，∵BA⊥AD，且AD∩PO＝O，AD，PO⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，∴PD⊥AB.(2)解设点M到平面ACD的距离为h，∵VD－ACM＝VM－ACD＝，∴S△ACD·h＝，∴h＝＝1，∵＝＝，∴λ＝＝.3.(1)证明连结OF，∵AB＝AC＝2，O为BC的中点，∴OA⊥BC，且BC＝2，OC＝，又∵∠BCD＝90°，F是CD中点，CD＝2，∴OF＝＝，由已知AF＝，∴AF2＝OA2＋OF2，∴OA⊥OF，且BC，OF是平面BCDE内两条相交直线，∴OA⊥平面BCDE.(2)解连结BF，由已知底面BCDE为直角梯形，CD＝2BE，BE∥CD，则四边形BFDE为平行四边形，所以BF∥DE，因为OP∥平面ADE，OP⊂平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，所以OP∥DE，所以OP∥BF，因为O为BC中点，所以P为CF中点，所以＝，又因为点F为CD的中点，所以＝.(3)解由(1)得OA为四棱锥A－BCDE的高，且OA＝，又因为BCDE是直角梯形，CD⊥CB，AB＝AC＝CD＝2BE＝2，所以直角梯形BCDE的面积为S＝×BC＝×2＝3，则四棱锥A－BCDE的体积V＝S·OA＝·3·＝2.能力提升练4.(1)证明因为在正方体ACBD－A1C1B1D1中，AB∥A1B1，A1B1⊂平面A1B1C，AB⊄平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C.(2)证明在正方体ACBD－A1C1B1D1中，∵BC＝AC，M是AB中点，∴CM⊥AB.∵AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴CM⊥AA1，∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，且AB∩AA1＝A，∴CM⊥平面ABB1A1，∵CM⊂平面MCC1，∴平面MCC1⊥平面ABB1A1.(3)解∵AB∥平面A1B1C，∴点M，点A到平面A1B1C的距离相等.故＝＝＝××2×2×2＝.11MBACV－11ABACV－11BACAV－
