南京技师学院教案（首页）授课日期授课班级课题2.1数列的极限函数的极限计划学时2课时教学目标1.了解函数极限的定义,能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解；2.了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系教学重点解决措施教学重点：函数极限的概念解决措施：讲授、演示教学难点解决措施教学难点：函数极限的概念解决措施：讲授、演示教学设计教学手段教学方法多媒体教学、板书演示板书设计授课提纲2.1数列的极限函数的极限一、复习1.函数的概念、复合函数和初等函数的概念；2．函数几种特性二、引入三、新授（一）、数列的极限（二）、函数的极限（三）、无穷大量四、练习P24-习题1－4、9-10五、小结1.数列极限的概念；2.函数的极限的概念；作业P24-习题5－8教学过程设计时间分配教师活动学生活动【复习提问】1.函数的概念、复合函数和初等函数的概念；2．函数几种特性【新课引入】极限是贯穿高等数学始终的一个重要概念，是这门课程的基本推理工具。极限研究的是在自变量的某个变化过程中，函数的变化趋势。数列作为可看作一种特殊的函数，如今，我们先从数列入手研究函数的极限。【新课讲授】§2.1数列的极限函数的极限一、数列的极限1、定义、对于数列nu，若当自然数n无限增大时，通项nu无限接近于某个确定的常数,则称A为当n趋于无穷时数列nu的极限，或称数列nu收敛于A。记作Anlim或nAun；若数列nu的极限不存在，则称数列nu发散。例如数列11142,,,,,23nnnLL，可见当n无限增大时，无限接近1，则1limnnu。2、数列极限的几何意义：当n无限变大时，数列{un}所对应的点多落在点A的邻域内，直观讲：当n无限变大时，由于是任意小数列{un}所对应的点密集地落在点A的邻域。（图2.2）4分钟1分钟55分钟提问强调数列中n的取值是正整数几何直观思想的应用让学生感受极限是什么复习回答y=A图2.3教学过程设计时间分配教师活动学生活动如果用平面直角坐标系中点（n，un）表示数列地n项，那么数列{un}以A为极限的几何意义可表述为：当n无限变大时，数列{un}所对应的点都会靠近在直线y=A的上下，且越来越靠近。（图2.3）例如：数列un=n2(n=1、2、3⋯⋯)，当n无限变大时，数列不趋向于一个确定数，所以发散。二、函数的极限（一）x时函数)(xf的极限定义1.当x无限变大时，恒有Axf)(（是任意小的正数），则称常数A为函数)(xf当趋向正无穷大时的极限。记作xAxfAxfx)()(lim或（二）x时函数)(xf的极限定义2.当x无限变大时，恒有Axf)(（是任意小的正数），则称常数A为函数)(xf当趋向负无穷大时的极限。记作xAxfAxfx)()(lim或。当x时，Axf)(，同时当x时，)(xf也趋向于A。这时记作Axfx)(lim。数列收敛表示数列中的各项都在极限值的附近上下移动告诉学生怎么将中文翻译为数学语言。画一个草图给学生直观认识。函数中的x教学过程设计时间分配教师活动学生活动（三）0xx时函数)(xf的极限定义3.如果当x无限地接近于0x时（除0x外），恒有Axf)(（是任意小的正数），则称常数A为函数)(xf当趋向于0x时的极限。记作0)()(lim0xxAxfAxfxx或（四）0xx时函数)(xf的极限定义4.设函数)(xfy的右半邻域00,xx内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从0x右侧无限接近于0x时，相应的函数值)(xf无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近于0x时函数)(xf的右极限。记作0)()(lim0xxAxfAxfxx或（五）0xx时函数)(xf的极限定义5.设函数)(xfy在点0x的左半邻域00,xx内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从0x左侧无限接近于0x时，相应的函数值)(xf无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近于0x时函数)(xf的左极限.记作是任意实数，充分理解函数趋近常数和趋近无穷的不同意义教学过程设计时间分配教师活动学生活动0)()(lim0xxAxfAxfxx或。定理1：Axfxx)(lim0的充分必要条件是Axfxfxxxx)(lim)(lim00．同理可得Axfx)(lim的充分必要条件是Axfxfxx)(lim)(lim例：当x2时，函数f(x)=3x+1的极限时多少？解：当x2时，3x6,f(x)=3x+17,即7)13(lim2xx定理2：若函数0xx（或x）时，函数)(xf的有极限，则必存在0x的一个邻域（除0x外）（或x充分大范围外），在此邻域内函数)(xf有界。简言之，有极限的函数必有界。证明：以x为例，已知Axfx)(lim。即当x...
