1第一章习题详解1．求下列复数z的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：1)i231解：132349232323231231iiiiii实部：133231iRe虚部：132231iIm共轭复数：1323231ii模：1311323231222i辐角：karctgkarctgkiiArg23221331322231231arg2)iii131解：2532332113311131312iiiiiiiiiiiiii实部：23131iiiRe虚部：25131iiiIm共轭复数：253131iiii模：234434253131222iii辐角：karctgkarctgkiiiiiiArg235223252131131arg23)iii25243解：22672267272625243iiiiiii实部：2725243iiiRe虚部：1322625243iiiIm共轭复数：226725243iiii模：2925226272524322iii辐角：karctgkarctgiiiArg2726227226252434)iii2184解：iiiiii31414218实部：14218iiiRe虚部：34218iiiIm共轭复数：iiii314218模：1031422218iii辐角：karctgkarctgkiiiiiiArg23213244218218arg2．当x、y等于什么实数时，等式iiyix13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：iiiyix82351318321yx111yx即1x、11y时，等式成立。33．证明虚数单位i有这样的性质：iii1证明：iiiii211iiii00iii14．证明1)zzz2证明：设iyxz，则iyxz2222222yxyxiyxz22yxiyxiyxzzzzz22)2121zzzz证明：设111iyxz，222iyxz，则有：21212121221121yyixxyyixxiyxiyxzz21212211221121yyixxiyxiyxiyxiyxzz2121zzzz3)2121zzzz证明：设111ierz，222ierz，则有：21212121212121iiiierrerrererzz21212121212121?iiiiierrererererzz2121zzzz4)022121zzzzz,证明：设111ierz，222ierz，则有：21212121212121iiiierrerrererzz421212121212121iiiiierrererererzz2121zzzz5)zz证明：设iyxz，则有ziyxiyxiyxz6)zzizzzz2121Im,Re证明：设iyxz，则iyxzzxiyxiyxzzRe2121zyyiiiyxiyxizziIm22121215．对任何22,zzz是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z值才成立？解：设iyxz，则有：22222yxyixiyxz22222yxiyxiyxz22zz022222xyyxyx0y故当0y，即iyxz是实数时，22zz成立。6．当1z时，求azn的最大值，其中n为正整数，a为复数。解：azazaznnn1z1nzaazn1即aazn1azn的最大值是a17．判定下列命题的真假：1)若c为实常数，则cc；解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。2)若z为纯虚数，则zz；解：真命题。设0yiyz，则iyz，显然zz。53)ii2；解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。4)零的幅角是零解：假命题。复数0的幅角是任意的，也是无意义的。5)仅存在一个数z，使得zz1；解：假命题。有两个数iziz,，使zz1成立。6)2121zzzz；解：假命题。设有两个数iziz21,，使2121zzzz不成立。7)izzi1解：真命题。izzizi18．将下列复数化为三角表示式和指数表示式：1)i解：1ir，2iarg222ieiisincos2)1解：11r，1argieisincos13)31i解：231ir，31331arctgiarg33331ieiisincos4)01sincosi解：22222111sincoscossincossincosir22122212122222sincoscoscoscos622242212222sinsinsincos22211tgarctgarcctgarctgarctgicossinsincosarg22222221ieiisinsincossinsincos另：222222222112cossinsinsincossincosiii22222222222ieiisinsincossincossinsin另：sinsincoscossincossincossincos00001iiii22222222020220202ieiisincossinsincossinsinsin5)ii12解：iiiiii12222121221ir，4111argargargi424421ieiisincos6)323sin3cos5sin5cosii解：1025255iieeisincosiieeii933333333sincossincos191933551991032sincossincossincosieeeiiiii9．将下列坐标公式写成复数的形式：1)平移公式：1111byyaxx解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：1111ibaiyxiyx7即：Azz12)旋转公式：cossinsincos1111yxyyxx解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：11111111ixyiyxiyyixxiyxsincoscossinsincos11111111iyxiiyxixyiiiyxsincossincosieiyxiiyx1111sincosiezizz11sincos10．一个复数乘以i，它的模与辐角有何改变？解：设irez2iei22iiireereiz即：一个复数乘以i，它的模不变，辐角减小2。11．证明：22212212212zzzzzz，并说明其几何意义。证明：21212121221zzzzzzzzzz22212111zzzzzzzz21212121221zzzzzzzzzz22212111zzzzzzzz22212211221221222zzzzzzzzzz几...
