第十六章《16.1平行四边形》【同步教育信息】一.本周教学内容：专题讲座（二）平行四边形学习要求：1.掌握平行四边形的一些性质，识别方法。2.掌握特殊平行四边形的性质及其识别方法。3.梯形的性质。二.重点、难点：学习重点：1.平行四边形的性质及识别方法。2.特殊平行四边形的性质及识别方法。学习难点：梯形与平行四边形的综合运用。【典型例题】（一）平行四边形：1.平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。2.平行四边形的识别：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。（4）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3.相关链接：（1）两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上的任一点到另一条直线上的距离，叫做这两条平行直线间的距离。性质：两条平行线间的距离处处相等。（2）平行四边形的面积：①如图1所示：S平行四边形ABCD=BC·AF=CD·AE注意：这里底是相对于高而言，也就是说平行四边形任一边均可作底。②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。4.平行四边形知识的应用：（1）直接运用其特征去解决问题，求角的度数，线段长度，证明角相等，互补等，证明线段长度相等成倍分。（2）先识别一个四边形是平行四边形，然后用其性质解决问题。例1.如图2，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD=∠BAF，（1）试说明△CEF是等腰三角形，（2）△CEF的哪两边之和恰好等于平行四边形ABCD的周长，请说明为什么？解：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD。所以∠EAD=∠F，∠BAF=∠E，又已知∠EAD=∠BAF，所以∠E=∠F。所以△CEF是等腰三角形。（2）△CEF中，（CE+CF）与平行四边形ABCD的周长相等。由（1）得∠EAD=∠BAF=∠E=∠F，所以DE=AD，FB=AB，所以CE+CF=CD+AD+CB+AB即有CE+CF与平行四边形ABCD的周长相等。例2.如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，PD∥AB，PF∥AC，PE∥BC，E、F、D分别在AB、BC和AC上，说明：PD+PF+PE=AB解：延长DP与BC相交于G，过F作FH∥PD与AC相交于H，DG∥AB，EP∥BC，故四边形EBPG是平行四边形，得EP=BGPF∥AC，FH∥PD得四边形PDHF是平行四边形。得PD=FH又FH∥PD∥AB，得∠HFC=∠B=60°而∠C=60°而△FHC为等边三角形FH=FC又PG∥AB得∠PGF=∠B=60°PF∥AC得∠PFG=∠C=60°故△PGF是等边三角形，得PF=GF故PD+PE+PF=FC+BG+GF=BC=AB。例3.如图4，平行四边形ABCD中，AE=CF，点M、N分别是DE、BF之中点，试说明FM=EN。解：在平行四边形ABCD中，DC∥AB，DC=AB。又AE=CF，故BE=DF又BE∥DF得四边形BEDF是平行四边形。BF∥DE，BF=DE而M、N分别是DE、BF之中点，得ME=FN又ME∥FN故四边形FMEN是平行四边形，得：FM∥EN。例4.如图5，已知在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，EF∥AC。试说明：BE=FC。解：DE∥BC，EF∥AC，故而四边形EFDC是平行四边形。得CF=DE。又ED∥BC得∠EDB=∠DBC，而BD平分∠ABC，知∠ABD=∠DBC，故而∠EDB=∠ABD即∠EDB=∠EBD得EB=ED故而CF=BE。（二）特殊的平行四边形：1.矩形：（1）特性：①四个角都是直角。②对角线相等。（2）识别方法：①三个角是直角的四边形是矩形。②一个角是直角的平行四边形是矩形。③对角线相等的平行四边形是矩形。2.菱形：（1）特性：①四边相等；②对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角。（2）识别方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。②四边相等的四边形是菱形。③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。3.正方形：（1）特性：①四边相等；②四个直角；③对角线平分一组对角且垂直；④对角线相等。（2）识别方法：①先识别其为菱形，再说明其有一个内角是直角。②先识别其为矩形，再说明其有一组邻边相等。例5.如图6，已知在矩形ABCD中，M是BC的中点，BC=2AB，试说明MA⊥MD。解：在矩形ABCD中，∠B=90°BC=2AB故可知∠AMB=45°同理：∠DMC=45°故∠AMD=180°－45°－45°=90°即AM⊥MD。例6.如图7，已知在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC边相交于点E，∠B的平分线与AD相交于点F，试说明四边形ABEF是菱形...
