考研高等数学基础班讲义2.2.1§2.2微分中值定理一、罗尔定理设函数()fx满足（1）在闭区间［a,b］上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）()()fafb.则至少存在一点()abx?，，使得()0fx￠=.几何意义：条件（1）说明曲线()yfx在(,())Aafa和(,())Bbfb之间是连续曲线［包括点A和点B］.条件（2）说明曲线()yfx在A，B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线［不包括点A和B］条件（3）说明曲线yfx在端点A和B处纵坐标相等。结论说明曲线yfx在A点和B点之间［不包括点A和B］至少有一点，它的切线平行于x轴。注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式（1）()()kFxxfx（加法）（2）()()kfxFxx（加法）（3）()()kxFxfxe（函数加导数）【例1】设fx在0，3上连续，在0，3内可导，且0123fff，31f，试证：必存在0，3，使0f。证()fxQ在0，3上连续，()fx在0，2上连续，且有最大值M和最小值m,于是(0)mfM；(1)mfM；(2)mfM，考研高等数学基础班讲义2.2.2故1(0)(1)(2)3mfffM。由连续函数介值定理可知，至少存在一点c0，2，使得1(0)(1)(2)13fcfff因此3fcf，且fx在c，3上连续，c，3内可导，由罗尔定理得出必存在03c，3，，使得0f。【例2】设fx在0，1上连续，在01，内可导，且23130fxdxf.求证：存在()0，1x?使()0fx￠=证由积分中值定理可知，存在轾?犏臌2,13c，使得231213fxdxfc得到2313(0)fcfxdxf对fx在0c，上用罗尔定理（三个条件都满足），故存在()0(01)c，，x翁，使()0fx￠=【例3】（07）设函数()fx，()gx在[,]ab上连续，在(,)ab内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()fagafbgb，证明：存在(,)ab，使得()()fg。分析：令()()()()FxfxgxFx在[,]ab连续，在(,)ab可导，在题设条件下，要证存在(,)ab，()0F。已知()()0FaFb，只需由题设再证(,)cab，()0Fc。证明：由题设11[,](,),max()()abxabMfxfx，22[,](,),max()()abxabMgxgx。考研高等数学基础班讲义2.2.3若12xx，取12cxx，则()0Fc。若12xx，不妨设12xx，则111()()()0Fxfxgx，222()()()0Fxfxgx12[,]cxx，()0Fc由()()()0FaFcFb，对()Fx分别在[,]ac和[,]cb用罗尔定理12(,),(,)accb，使得12()()0FF。再对()Fx用罗尔定理12(,)(,)ab，使得()0F，即()()fg。二、拉格朗日中值定理设函数fx满足（1）在闭区间ab，上连续；（2）在开区间ab，内可导。则存在ab，，使得fbfafba或写成fbfafbaab有时也写成00001fxxfxfxxxg这里0x相当a或b都可以，x可正可负。几何意义：条件（1）说明曲线yfx在点Aafa，和点Bfbb，之间［包括点A和点B］是连续曲线。条件（2）说明曲线yfx［不包括点A和点B］是光滑曲线。结论说明曲线yfx在A、B之间［不包括点A和点B］至少有一点，它的切线与割线AB是平行的。考研高等数学基础班讲义2.2.4推论1若fx在ab，内可导，且0fx，则fx在ab，内为常数。推论2若fxgx，在ab，内皆可导，且fxgx，则在ab，内fxgxc，其中c为一个常数。推论3设()fx，()gx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，则000(1)()(),(,)()()([,])(2)[,],()()fxgxxabfxgxxabxabfxgx（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当fafb时的特殊情形，就是罗尔定理）【例1】设不恒为常数的函数fx在ab，上连续，ab，内可导，且fafb，证明ab，内至少有一点ξ，使得0f.证由题意可知存在(,)cab?使得fcfafb如果fcfa，则fx在ac，上用拉格朗日中值定理存在1(,)acx?，使1()()0fcfafca如果fbfc，则fx在cb，上用拉格朗日中值定理存在2(,)cbx?，使2()()0fbfcfbc，因此，必有(,)abx?，使得0f成立.【例2】设()0fx，(0)0f=，证明对任意10x>，20x>恒有1212()()()fxxfxfx+<+证不妨假设12xx￡，由拉格朗日中值定理有考研高等数学基础班讲义2.2.5①1111()()(0)(0)()fxfxfxfx￠=-=-，110xx<<②[]1221222()()()()fxxfxxxxfx￠+-=+-，2212xxxx<<+，从而可知12xx<， ()0fxⅱ<， ()fx￠单调减少，于是12()()ffxxⅱ>这样由①②两式可知1122()()()fxfxxfx>+-因此，1212()()()fxxfxfx+<+成立.【例3】(04)设2eabe，证明2224lnln()babae.分析：即证222lnln4()babae，符合拉格朗日中值定理。证明：令2()lnfxx，在[,]ab上用拉格朗日中值定理得22()()lnlnln()2fbfabafbaba，其中2(,)(,)abee。注意到ln()xxx，则21ln()0()...
