24.3相似三角形的性质学习目标要求1、掌握相似三角形的性质。2、能应用相似三角形的性质解决问题。教材内容点拨知识点：相似三角形性质1、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。2、相似三角形周长的比等于相似比。3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。典型例题点拨例1、两个相似三角形对应中线的比是，大三角形的面积是小三角形面积的________倍。点拨：根据相似三角形对应中线之比可得相似比，近而得出这两个三角形的面积比。解答： 两个相似三角形对应中线的比是，∴这两个相似三角形的相似比为，∴大三角形的面积是小三角形面积的倍。例2、△ABC中，AB＝12cm，BC＝18cm，AC＝24cm，若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长为81cm，求△A′B′C′各边的长。点拨：此题根据相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比，可知相似比为，由此根据△ABC各边长可求出△A′B′C′的各边长。解答： △ABC中，AB＝12cm，BC＝18cm，AC＝24cm，∴△ABC的周长为54cm，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为，∴，∴，，。例3、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为________米（精确到0.1米）。点拨：注意到光线的反射定律：入射角等于反射角，可知△CDE∽△ABE。解答： △CDE∽△ABE，∴， CD＝1.6，DE＝2.4，BE＝8.4，∴AB＝5.6米。例4、例、已知：如图△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，，(1)求证：△ABD∽△ACB；(2)求△ABD与△ACB的周长的比，△ABD与△ACB的面积的比。点拨：根据题中提供的两个与角相关的条件，要证明两个三角形相似，可联想到“AA”，证明两个三角形相似后，条件“”的作用在于提供了相似三角形的相似比，由此可求相似三角形的周长比和面积比。解答：（1） BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC， ∠ABC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C， ∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB。（2） △ABD∽△ACB，且，∴△ABD与△ACB的相似比为，∴△ABD与△ACB的周长的比为，△ABD与△ACB的面积的比为。例５、如图，△ABC的底边BC＝a，高AD＝h，矩形EFGH内接于△ABC，其中E，F分别在边AC，AB上，G，H都在BC上，且EF＝2FG，求矩形EFGH的周长。点拨：由题目条件中EF=2FG得要想求出矩形的周长，必须求出EF与高AD=h的关系，由EF∥BC得△AFE∽△ABC，则EF与高h即可联系上。此题还可以进一步求出矩形的面积，若对题目再加一个条件：AB⊥AC，那么还可以证出FG2=BG·CH，通过这些联想，就会对题目的内在联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。解答：设FG＝x， EF＝2FG，∴EF＝2x， EF//BC，∴△AFE∽△ABC，又AD⊥BC，设AD交EF于M，则AM⊥EF，∴即(AD-DM)/AD＝2x/a∴(h-x)/h＝2x/a解之，得x＝∴矩形EFGH的周长为6x＝。考点考题点拨1、中考导航会应用相似三角形性质解决生活中的实际问题，有利用所学内容解决身边的问题的意识，例如会利用自己的步长和身高求出一棵大树或大厦的高度。2、经典考题追踪例1、（06遂宁）已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC相似,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边,那么另外两边的长度(单位:cm)分别为（）A、10,25B、10,36或12,36C、12,36D、10,25或12,36点拨：本题看起来有很多种情况，比较复杂，但可以用整体观点来考察，由于这两个三角形相似，∴它们的周长之比等于相似比，∴△ABC与所作三角形的相似比大于1，即所作三角形应该比△ABC小，∴在选择作边的木料时，只有选长为30cm的细木料，而将长为60cm的细木料分成两段，而且由于△ABC与所作三角形的相似比大于1，△ABC中只有长为50cm或60cm的边与30cm长的边对应，即相似比分别为或2，解得答案有两种。解答： △ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm，∴△ABC的...
