含参数的一元二次不等式的解题策略湖南省祁东县第二中学贺德元解含参数的一元二次不等式问题，是一个难点问题，通常情况下，均需分类讨论，学生在解题过程中往往不知道如何分类讨论。本人在教学过程中发现，一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c>0为例）常与二次项系数a﹑判别式Δ及两根x1,x2的大小等因素有关。其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，两根x1,x2的大小关系到解集最后的次序；确定相关因素后再合理分类，确保不重不漏。下面举例说明：一、按方程的两根的大小来分类若二次项系数不含参数或所含参数的符号确定，并且能能分解因式，则对应方程有实根，其解法比较容易，只讨论两个实根的大小，分例1解不等式分析此不等式，又不等式可分解为0)3(2axax，故只需比较两根与的大小.解原不等式可化为：0)3(2axax，对应方程的两根为，当，即时，原不等式解集为；当a=0，即2a=3a时，原不等式解集为当时，即，原不等式解集为例2解不等式分析：此不等式可以分解为：(x+a-1)(x-a)﹥0，故对应的方程必有两解，则只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：(x+a-1)(x-a)﹥0，∴当，原不等式的解集为；当，即a=1-a时，原不等式解集为；当,即a﹤１-a时,原不等式解集为。二、按判别式的符号分类若二次项系数不含参数或所含参数的符号确定，并且不能分解因式，那么就对判别式进行分类讨论，以确定对应方程的解的情况，分例3解不等式分析：本题中二次项系数为正数，但是，其符号不能确定，故需要讨论。解因所以当，即时，原不等式解集为R；当，即时，原不等式解集为；当，即时，原不等式解集为R。例4解不等式分析本题中由于的系数大于0,的符号不定，对应方程的实根也不能确定，故需考虑与根的情况。解： 当即时，方程无实根，原不等式解集为；当即Δ＝0时，原不等式解集为；当或即,此时两根分别为，，显然,则原不等式的解集为三、按项的系数的符号分类若二次项系数含有参数且判别式Δ为非负数，则只对二次项系数进行分类讨论，一般分三类，即：例5解不等式分析因为，方程有实根，所以我们只要对二次项系数进行分类讨论即可。解，方程有两实1和3，当时，原不等式解集为；当a=0时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为例6解不等式：分析：本题二次项系数含有参数，但是，对应方程必有实根，故只需对二次项系数进行分类讨论。解： 解得方程两根∴当时,原不等式解集为当时，不等式为,原不等式解集为当时,原不等式解集为四解含参数的一元二次不等式的通法对于含有不确定符号的参数的二次项系数，又不能进行因式分解的一元二次不等式，其分类比较复杂，参数的分类可以根据两个零点：一元二次不等式中二次项系数等于零和判别式时所得到的的值为数轴的分点进行分类。例7解不等式：mx2-2x+1>0分析：本题对解集的影响因素较多，不仅要分级讨论，而且若处理不当极易漏解或重复。较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策。显然本题首先要讨论m与0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小。我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏。解： Δ=4-4m=4(1-m)∴当m<0时,Δ>0,此时∴原不等式解集为当m＝0时，方程为-2x+1>0原不等式,解集为当00，此时∴原不等式解集为当m＝1时,不等式为∴原不等式解集为，当m>1时,此时Δ<0,故原不等式解集为R.例8关于的不等式：分析：由于，的系数是，所以本题既要考虑二次项系数的符号又要考虑判别式的大小，对a的分类非常复杂，对此，令或，或，这四个根将数轴分成9部分，即：，，，，，，，，。解：或；或；当时，且，原不等式解集为；当时，且，原不等式解集为()()；当时，且，原不等式解集为()()；当时，原不等式可变为，原不等式解集为()；当时，且，原不等式解集为(,)；当时，原不等式，原不等式解集为()；当时，且，原不等式解集为()()；当时，且，原不等式解集为()()；当时，且，原不等式解集为.综上可知，当或时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为()()；当或时，原不等式解集为()()；当时，原不等式解集为()；当时，原不等式解集为(,)；当...
