课时达标检测（四十五）抛物线[——小题对点练点点落实]对点练(一)抛物线的定义及其应用1．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，|AB|＝16，则AB中点C的横坐标是()A．3B．4C．6D．8解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所以点C的横坐标是＝6.2．设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．3B．4C．7D．13解析：选B依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x＝3的距离，即等于3＋1＝4.3．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.B.C.D.解析：选A设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP＝，代入y2＝2x，得yP＝±，所以P.4．已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为()A．4B．8C．16D．32解析：选D由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)．过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，根据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直线AK的倾斜角为45°，直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，x＝4.所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为×8×8＝32.5．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．2－1B．2－2C.－1D.－2解析：选C由抛物线定义可知，点P到准线的距离可转化为其到焦点F的距离，即求|PQ|＋|PF|的最小值．设圆的圆心为点C，因为|PQ|≥|PC|－1，所以|PQ|＋|PF|≥|PC|－1＋|PF|≥|FC|－1＝－1，故选C.6．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为，则＝1，解得p＝2.答案：27．(2018·河南三门峡模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，||FB|－|FA||＝________.解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x2－6x＋1＝0，解得x1＝3＋2，x2＝3－2，由抛物线的定义可得|FA|＝x1＋1＝4＋2，|FB|＝x2＋1＝4－2，则||FB|－|FA||＝4.答案：4对点练(二)抛物线的标准方程及性质1．抛物线y2＝2px(p>0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得弦长为2，则p＝()A．1B．2C．4D．6解析：选B抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，而圆化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，圆心M(0,1)，半径r＝，圆心到准线的距离为，所以2＋2＝()2，解得p＝2.2．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA―→与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为()A.B．2C.D．1解析：选C过点A作AD⊥x轴于点D，令|FD|＝m，则|FA|＝2m,2＋m＝2m，m＝2，所以|AD|＝2，所以S△OAF＝×1×2＝.3．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为(3,2)，则抛物线C的方程为()A．y2＝2x或y2＝4xB．y2＝4x或y2＝8xC．y2＝6x或y2＝8xD．y2＝2x或y2＝8x解析：选B由题可得直线l的方程为y＝k，与抛物线方程C：y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－k2px－2px＋＝0. AB的中点为M(3,2)，∴解得k＝1或k＝2，∴p＝2或p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝8x.4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．2B．2C．4D．2解析：选B设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则点M(2，±2)，焦点为. 点M到该抛物线焦点的距离为3，∴2＋＝3，解得p＝2.∴|OM|＝＝2.5．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25，即抛物线方程为x2＝－25y. 每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分...
