第2讲计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列1．(·江苏卷)已知△ABC的三边长都是有理数．(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．证明(1)设三边长分别为a，b，c，cosA＝，∵a，b，c是有理数，b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数．(2)①当n＝1时，显然cosA是有理数；当n＝2时，∵cos2A＝2cos2A－1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即coskA、cos(k－1)A均是有理数．当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝coskAcosA－sinkAsinA＝coskAcosA－[cos(kA－A)－cos(kA＋A)]＝coskAcosA－cos(k－1)A＋cos(k＋1)A解得：cos(k＋1)A＝2coskAcosA－cos(k－1)A∵cosA，coskA，cos(k－1)A均是有理数，∴2coskAcosA－cos(k－1)A是有理数，∴cos(k＋1)A是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．2…．记的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中n∈N*.(1)求an；(2)是否存在常数p，q(p＜q)，使bn＝，对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．解(1)根据多项式乘法运算法则，得an…＝＋＋＋＝1－.(2)计算得b2＝，b3＝.代入bn＝，解得p＝－2，q＝－1.下面用数学归纳法证明bn＝＝－＋×(n≥2且n∈N*)①当n＝2时，b2＝，结论成立．②设n＝k时成立，即bk＝－＋×，则当n＝k＋1时，bk＋1＝bk＋＝－＋×＋－＝－＋×.由①②可得存在常数p＝－2，q＝－1使结论对n∈N*，n≥2成立．3．(·泰州中学调研)已知多项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n.(1)求f(－1)及f(2)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．解(1)f(－1)＝0，f(2)＝17.(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数．①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，结论成立，即f(k)＝k5＋k4＋k3－k是整数，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)＝＋＋－(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数．∴f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立．由①、②可知对一切正整数n，f(n)是整数．(i)当n＝0时，f(0)＝0是整数(ii)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(i)知f(m)是整数，所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－(－m)＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4是整数．综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．4．(·江苏卷)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．解(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，所以随机变量ξ的分布列是ξ01P(ξ)因此E(ξ)＝1×＋×＝.5．(·无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝.(1)求文娱队的队员人数；(2)写出ξ的概率分布列并计算E(ξ)．解设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，只会一项的人数是(7－2x)人．(1)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝，∴P(ξ＝0)＝，即＝.∴＝，解得x＝2.故文娱队共有5人．(2)P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，ξ的概率分布列为ξ012P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.6．(·徐州质检)一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．(1)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；(2)求该人两次投掷后得分ξ的数学期望Eξ.解(1)“”“”“”飞碟投入红袋，飞碟投入蓝袋，飞碟不入袋分别记为事件A，B，C.则P(A)＝＝，P(B)＝P(C)＝＝.因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为P4(3)＝C3＝.(2)两次投掷得分ξ的得分可取值为0,1,2,3,4则：P(ξ＝0)＝P(C)P(C)＝；P(ξ＝1)＝CP(B)P(C)＝2××＝；P(ξ＝2)＝CP(A)P(C)＋P(B)P(B)＝；P(ξ＝3)＝CP(A)P(B)＝；P(ξ＝4)＝P(A)P(A)＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
