高2013级数列专题VIP免费

高2013级数列专题1、已知数列的首项，前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，为数列的前项和，求证：．解析：（Ⅰ）由，，①∴，②①－②得：，即， ，∴。（Ⅱ） ，∴，∴．故．2、已知数列{an}的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn=(an+12)2，（I）求ana与n−1(n≥2)之间的关系式，并求{an}的通项公式；（II）求证1S1+1S2+⋯+1Sn<2.解：（I） 4Sn=(an+1)2①，而4Sn−1=(an−1+1)2②，①—②得an2−an−12−2(an+an−1)=0⇒(an+an−1)(an−an−1−2)=0, an>0,∴an−an−1=2(n≥2),∴{an}是公差d=2的等差数列，而4a1=(a1+1)2⇒a1=1,∴an=2n−1;（II） Sn=n2,∴1S1+1S2+⋯+1Sn=112+122+⋯+1n2 1n2<1n(n−1)=1n−1−1n(n≥2),∴1S1+1S2+⋯+1Sn<1+(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)¿2−1n<2.3、设等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且210S30−(210+1)S20+S10=0，且数列{an}各项均正。（Ⅰ）求{an}的通项；（Ⅱ）求{nSn}的前n项和Tn。解：（Ⅰ）由210S30−(210+1)S20+S10=0得210(S30−S20)=S20−S10,即210(a21+a22+⋯+a30)=a11+a12+⋯+a20,可得210⋅q10(a11+a12+⋯+a20)=a11+a12+⋯+a20.因为an>0，所以210q10=1,解得q=12，因而an=a1qn−1=12n,n=1,2,⋯.（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故Sn=12(1−12n)1−12=1−12n,nSn=n−n2n.则数列{nSn}的前n项和Tn=(1+2+⋯+n)−(12+222+⋯+n2n),Tn2=12(1+2+⋯+n)−(122+223+⋯+n−12n+n2n+1).前两式相减，得Tn2=12(1+2+⋯+n)−(12+122+⋯+12n)+n2n+1=n(n+1)4−12(1−12n)1−12+n2n+1即Tn=n(n+1)2+12n−1+n2n−2.4、在数列中，，.(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；(Ⅱ)求数列的前项和解：(Ⅰ)即，所以数列是等差数列(Ⅱ)由(Ⅰ)，所以所以5、数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1−ann∈N¿⑴求数列{an}的通项公式；⑵设Sn=|a1|+|a2|+⋯+|an|，求Sn；⑶设bn=1n(12−an)(n∈N¿),Tn=b1+b2+⋯+bn(n∈N¿)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N¿，均有Tn>¿¿m32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（1）由题意，an+2−an+1=an+1−an，∴{an}为等差数列，设公差为d，由题意得2=8+3d⇒d=−2，∴an=8−2(n−1)=10−2n新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）若10−2n≥0n则≤5，时，Sn=a1+a2+⋯+a5−a6−a7⋯−an=S5−(Sn−S5)=2S5−Sn=n2−9n+40故n≤5n≥6（3） bn=1n(12−an)=12n(n+1)=12(1n−1n+1)∴Tn=12[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)]=n2(n+1).若Tn>m32对任意n∈N¿成立，即nn+1>m16对任意n∈N¿成立， nn+1(n∈N¿)的最小值是12，∴m16<12,∴m的最大整数值是7新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆即存在最大整数m=7,使对任意n∈N¿，均有Tn>m32.6、已知函数f(x)=ax2+bx－的图象关于直线x=－对称,且过定点(1,0)；对于正数列{an},若其前n项和Sn满足Sn=f(an)（nN*）（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设bn=（nN*），若数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与5的大小，并证明.解：()Ⅰ 函数f(x)的图象关于关于直线x=－对称,∴a≠0,－=－,∴b=3a① 其图象过点(1,0)，则a+b－=0②由①②得a=,b=.4分()Ⅱ由()Ⅰ得，∴=当n≥2时，=.两式相减得∴，∴，∴是公差为3的等差数列，且∴a1=4(a1=－1舍去）∴an=3n+19分（Ⅲ）=，24731222nnnT⋯①②①--②得133137437222nnnnnnT，(1)当n=1、2时，Tn－5<0,∴Tn<5；(2)当n=3时，Tn－5=0,∴Tn=5；(3)当≥4时，记h(x)=2x+1－(3x+7),h'(x)=2x+1ln2－3,当x>3时，有：h'(x)>23+1ln2－3=23×2×ln2－3=8ln22－3=8ln4－3>8－3>0，则h(x)在(3,+)上单调递增，∴当n≥4时，2n+1－(3n+7)>0∴Tn－5>0,∴Tn>5综上：当n≤2,Tn<5；当n=3,Tn=5；...