参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=-g(x)，即它们关于y=0对称。2、y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(-x)，即它们关于x=0对称。3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=g(2a-x)，即它们关于x=a对称。4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)+g(x)=2a，即它们关于y=a对称。5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。换种说法：y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)+g(2a-x)=2b，即它们关于点(a,b)对称。6、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线x=二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b2a+b2对称。对称.推论1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.推论2：如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=0（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.推论3：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.推论4：如果函数y=f(x)满足f(x)+f(-x)=0，则函数y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.性质5：函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c时，函数y=f(x)的图象关于点（a+b，c）对称。22（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。2、曲线y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。3、曲线y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。4、曲线f(x,y)=0关于直线x=b对称曲线为f(x,2b-y)=0。5、曲线f(x,y)=0关于直线x+y+c=0对称曲线为f(-y-c,-x-c)=0。6、曲线f(x,y)=0关于直线x-y+c=0对称曲线为f(y-c,x+c)=0。7、曲线f(x,y)=0关于点P(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0。例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（（第十二届希望杯高二第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－12x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）例3．若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于对称，则函数g(x)。例4．函数y=f(x-a)与函数y=f(-x+a)的图象关于对称）参考二：函数对称性问题简析函数对称性问题函数图象的对称性体现了数学对称美。函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。本文从两方面探讨函数的对称性。命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a对称。2特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。推论1、函数y=f(a+ωx)与函数y=f(b-ωx)的图象关于直线x=b-a对称2ωab证明：y=f(a+ωx)=f[ω(x+)],y=f(b-ωx)=f[-ω(x-)]ωω所以，将函数y=f(ωx)的图象向左平移|数y=f(-ωx)的图象向右平移|aω|个单位得y=f(a+ωx)的图象;将函bω|个单位得函数y=f(b-ωx)的图象,而y=f(ωx)与y=f(-ωx)的图象关于y轴对称，可得两函数图象关于直线x=b-ab-a对称。记忆技巧：令a+ωx=b，即对称轴方程。-ωx，易得x=2ω2ω命题2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b对称。反之亦然。2推论2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx)，(m≠0)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b对称。反之亦然。2命题3、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(a+bc,)成中心对称图形。22下面举例说明其应用。[例1]函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于__________对称解：由命题1知，两函数图象关于x=3-1=1,即关于直线x=1对称。2[例2]若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0有_____个根，两方程的所有的根...
