第七讲函数的奇偶性和周期性（学生用书）一、选择题1．若奇函数f(x)＝3sinx＋c的定义域是[a，b]，则a＋b＋c等于()A．3B．－3C．0D．无法计算2．(2012·永州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝()A．4B．2C．0D．不确定4．(2011·湖南高考)若函数为奇函数，则a＝()A.B.C.D．15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝()A．0B．1C．2D．36．(2011·山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6B．7C．8D．9二、填空题7．(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.8．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．9．(2012·徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则a的取值范围是________．三、解答题10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．111．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)．第七讲函数的奇偶性和周期性（教师用书）一、选择题1．若奇函数f(x)＝3sinx＋c的定义域是[a，b]，则a＋b＋c等于()A．3B．－3C．0D．无法计算解析：由于函数f(x)是奇函数，且定义域为[a，b]，所以a＋b＝0，又因为f(0)＝0，得c＝0，于是a＋b＋c＝0.答案：C2．(2012·永州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数2解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．答案：D3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝()A．4B．2C．0D．不确定解析： f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(4)＝f(2－2)＝f(0)＝0.答案：C4．(2011·湖南高考)若函数为奇函数，则a＝()A.B.C.D．1解析：法一：由已知得f(x)＝定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，知a＝.法二： f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝，则＝在函数的定义域内恒成立，∴1－2a＝0，可得a＝.答案：A5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝()A．0B．1C．2D．3解析：由题意，f(x)是4为周期的奇函数，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0.答案：A6．(2011·山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6B．7C．8D．9解析：由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．答案：B二、填空题7．(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.解析：法一： f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x>0，则－x<0， f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.答案：－38．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．解析：由于f(x)是偶函数，故当x<0时，f(x)＝2－x－4，当x－2<0时，由f(x－2)＝2－(x－2)－4>0，...
