用“面积比”求二面角来宾市一中覃卫平求二面角是立体几何计算题的常见问题，“一作、二证、三求”是立几计算题的口诀，即利用定义、三垂线定理、线面垂直等方法先作出二面角的平面角，然后证明所作的角为所求二面角的平面角，最后利用三角形的有关性质解出平面角从而得解。但很多时候“作”中就出现问题了，平面角的顶点不是棱上的特殊点，这样就不容易求出相关直角三角形的边长。“面积比”是:若在二面角一个面内面积为S的平面多边形(多为三角形，三角形的一边在棱上)在另一个面内的射影的面积为，二面角大小为，则。利用“面积比”的方法往往可以避免了“作”不出或是“作”出了又不好求的尴尬局面。一、已知射影型：已知或通过已知条件找出二面角的一个面内的平面多边形在另一个面内的射影.例1.如图，在三棱锥中，，是直角三角形，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点.(1)求证：；(2)求直线所成的角的正弦值；(3)求二面角的正切值.(1)(2)解法略(3)设，连结易知上的射影，1PABCDEFO设二面角为则即二面角的正切值为已知射影型主要特征是，已知二面角的一个面内平面多边形不在棱上的顶点到另一个面的垂线，而且其中平面多边形及其射影是便于计算面积的特殊多边形形——等腰、直角三角形，倘若“面”及其射影不是便于计算面积的特殊多边形则就选择其它方法.例2.如图，已知长方体与平面所成的角为，点F为的中点.(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦值；(2)求平面BDF与平面所成的二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示).解：(1)(略)(2)易知，在平面上的射影，与平面所成的角为即，又，，，,,设平面BDF与平面所成的二面角为则2ABCDEFA1B1C1D1，故所求的二面角大小为.二、未知射影型：从已知条件中未有线面垂直，经二面角一个面内平面多边形不在棱上的顶点作二面角另一个面的垂线从而得到其射影，化成已知型解决问题例3．如图，在矩形中，E是BC的中点，把分别沿、DE折起，使B、C重合于点P.(1)求证：；(2)求异面直线AD与PE的距离；(3)求二面角的大小.(1)(2)略(3)由(1)(2)可知(G为AD的中点)为等腰直角三角形，作，则F为GE的中点，，上的射影，，设平面PAE与平面DAE所成的二面角为则，故所求的二面角大小为例4．如图，五面体中，，底面ABC为正三角形，，四边形是矩形，D为AC的中点，二面角是直二面角.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.(1)证明：(略)(2)解：作∵二面角是直二面角3PABCDEFGABCDFB1C1在平面上的射影，又底面ABC为正三角形，D为AC的中点，，易知，令二面角为则，即二面角的余弦值为4
