反函数的本质分析刘鹏举由于高中课本对于函数及其反函数的讲解推理较少，使得许多同学错误地认为：由于x=f-1(y)与y=f(x)在同一坐标系的图象是相同的，函数y=f(x)与x=f-1(y)是同一函数，其反函数都是y=f-1(x)。错误的原因在于受传统“y表示函数x表示自变量”的思维束缚而忽视了f到f-1的变化。函数y=f(x)的反函数就是x=f-1(y)，因为自变量到函数的对应关系变了，只是习惯上用x表示自变量，y表示函数，故将y=f(x)的反函数x=f-1(y)仅仅做字母变化记作y=f-1(x)y=f(x)中的x处于自变量的位置，而从关系是理解出x变成x=f-1(y)以后，此时的x处于函数的位置，不能在原图上将x当作自变量来画图，也就是说，x=f-1(y)中的x不再用横坐标来衡量，而要用纵坐标（函数轴）来衡量。如已知函数y=x2(x≧0),可以解出x=≧0)尽管字母没变，但字母表示的意义变了，x=≧0)中的x不能再当作自变量来作图。y=x2(x≧0)的图象与x=≧0)的图象应该关于直线y=x对称。因此，函数与它相应的反函数的图像重在研究f与f-1，，而不在于y与x（不管反函数的形式如何），即“y=f(x)的图象与x=f-1(y)的图象关于直线y=x对称”及“y=f(x)的图象与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称”，两种说法都表示函数与反函数的图象关系。认为y=f(x)与x=f-1(y)两者图象相同的错误在于：始终把x当作永恒的自变量，把y当作永恒的函数，着重考察y与x而忽视了f与f-1。当函数x=f-1(y)与y=f-1(x)有着相同的定义域和值域时就表示相同的函数，它们都是y=f(x)的反函数（若y=f(x)反函数的定义域与值域和前者相同）。为明确其中关系可以看下面的分解图象。yyxx由于函数y=f(x)与x=f-1(y)中y与x地位的变化，所以不能在图1或者图2这样标明了x、y的同一个坐标系中画图，如果将图1与图2中的图像同时画在图3的坐标里，就可以直观地看到y=f(x)与x=f-1(y)的关系了。作者地址：陕西省户县涝店初中单位：户县涝店初中邮编：710307电话：13289255338函数轴自变量轴图3图2图1
