自主学习·基础知识奇思妙想·一题多解合作探究·重难疑点课时作业•3．1.1方程的根与函数的零点•[学习目标]1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)•一、函数的零点•1．定义•对于函数y＝f(x)，把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．•2．几个等价关系•方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有______．f(x)＝0x轴零点•二、函数零点存在性定理•如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有______，即存在c(∈a，b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)＜0零点f(c)＝0•三、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0图象与x轴的交点________________________________无交点零点的个数_________(x1，0)(x2，0)(x1，0)210•1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)•(1)所有的函数都有零点．()•(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．()•(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()•【答案】(1)×(2)×(3)×2．函数y＝4x－2的零点是()A．2B．(－2，0)C.12，0D.12【解析】令y＝4x－2＝0得x＝12，故函数y＝4x－2的零点是12.【答案】D•3．若函数f(x)在区间(2，5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2，5)上零点的个数是________．•【解析】由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f(x)在区间(2，5)上有且只有一个零点．•【答案】1•4．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)＜0，f(2)＜0，f(3)＞0，则可以确定零点所在区间为________．•【解析】 y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(2)·f(3)＜0，∴函数零点所在区间为(2，3)．•【答案】(2，3)•预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4求下列函数的零点(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝x2＋4x－12x－2.【解】(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝x2＋4x－12x－2＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.•求函数零点的方法•(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．•(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象相结合，即图象与x轴的交点的横坐标为函数的零点．判断下列函数的零点个数．(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x.【思路探究】(1)f(x)为二次函数，解答本题可直接判断对应的一元二次方程根的个数；(2)可直接解相应的方程或转化为两个熟知的基本初等函数y＝x2与y＝1x的图象交点的个数．•【解】(1)令f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0.•Δ＝49－4×12＝1＞0，•∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根，•∴函数f(x)有两个零点．(2)由x2－1x＝0，得x2＝1x.令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x，在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，可知两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．•判断函数零点个数的主要方法•(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．•(2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断函数零点的个数．即转化成两个函数图象的交点问题．•(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判断y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．•二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是()•A．1B．2C．0D．无法确定•【解析】 Δ＝b2－4ac，a·c<0，∴Δ>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，故函数有两个零点．•【答案】B(2014·北京高考)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)【思路探究】利用零点存在性定理，验证f(x)在各区间端点...
