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. 方程的根与函数的零点VIP免费

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自主学习·基础知识奇思妙想·一题多解合作探究·重难疑点课时作业•3.1.1方程的根与函数的零点•[学习目标]1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.(易混点)2.会求函数的零点.(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数.(难点)•一、函数的零点•1.定义•对于函数y=f(x),把使_________的实数x叫做函数y=f(x)的零点.•2.几个等价关系•方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与____有交点⇔函数y=f(x)有______.f(x)=0x轴零点•二、函数零点存在性定理•如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_____________,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有______,即存在c(∈a,b),使得_________,这个c也就是方程f(x)=0的根.f(a)·f(b)<0零点f(c)=0•三、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0图象与x轴的交点________________________________无交点零点的个数_________(x1,0)(x2,0)(x1,0)210•1.判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)•(1)所有的函数都有零点.()•(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).()•(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.()•【答案】(1)×(2)×(3)×2.函数y=4x-2的零点是()A.2B.(-2,0)C.12,0D.12【解析】令y=4x-2=0得x=12,故函数y=4x-2的零点是12.【答案】D•3.若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数,且图象是一条连续不断的曲线,f(2)·f(5)<0,则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________.•【解析】由函数零点存在性定理和函数的单调性知,f(x)在区间(2,5)上有且只有一个零点.•【答案】1•4.已知函数y=f(x)的定义域为R,图象连续不断,若计算得f(1)<0,f(2)<0,f(3)>0,则可以确定零点所在区间为________.•【解析】 y=f(x)的定义域为R,图象连续不断,且f(2)·f(3)<0,∴函数零点所在区间为(2,3).•【答案】(2,3)•预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4求下列函数的零点(1)f(x)=x2+7x+6;(2)f(x)=1-log2(x+3);(3)f(x)=2x-1-3;(4)f(x)=x2+4x-12x-2.【解】(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)=x2+4x-12x-2=0,得x=-6,所以函数的零点为-6.•求函数零点的方法•(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.•(2)几何法:与函数y=f(x)的图象相结合,即图象与x轴的交点的横坐标为函数的零点.判断下列函数的零点个数.(1)f(x)=x2-7x+12;(2)f(x)=x2-1x.【思路探究】(1)f(x)为二次函数,解答本题可直接判断对应的一元二次方程根的个数;(2)可直接解相应的方程或转化为两个熟知的基本初等函数y=x2与y=1x的图象交点的个数.•【解】(1)令f(x)=0,即x2-7x+12=0.•Δ=49-4×12=1>0,•∴方程x2-7x+12=0有两个不相等的实数根,•∴函数f(x)有两个零点.(2)由x2-1x=0,得x2=1x.令h(x)=x2(x≠0),g(x)=1x,在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,可知两函数图象只有一个交点,故函数f(x)=x2-1x只有一个零点.•判断函数零点个数的主要方法•(1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点.•(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断函数零点的个数.即转化成两个函数图象的交点问题.•(3)结合单调性,利用f(a)·f(b)<0,可判断y=f(x)在(a,b)上零点的个数.•二次函数f(x)=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是()•A.1B.2C.0D.无法确定•【解析】 Δ=b2-4ac,a·c<0,∴Δ>0,∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,故函数有两个零点.•【答案】B(2014·北京高考)已知函数f(x)=6x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)【思路探究】利用零点存在性定理,验证f(x)在各区间端点...

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