数学B单元函数与导数B1函数及其表示14．、[2014·安徽卷]若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝______．14.[解析]由题易知f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.2．、[2014·北京卷]下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|2．B[解析]由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.21．、、[2014·江西卷]将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．(1)求p(100)；(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．21．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝.(2)F(n)＝(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，同理有f(n)＝由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n＝9时，p(9)＝0.当n＝90时，p(90)＝＝＝.当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝.又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.3．[2014·山东卷]函数f(x)＝的定义域为()A．(0，2)B．(0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)3．C[解析]若函数f(x)有意义，则log2x－1＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.B2反函数5．[2014·全国卷]函数y＝ln(＋1)(x＞－1)的反函数是()A．y＝(1－ex)3(x＞－1)B．y＝(ex－1)3(x＞－1)C．y＝(1－ex)3(x∈R)D．y＝(ex－1)3(x∈R)5．D[解析]因为y＝ln(＋1)，所以x＝(ey－1)3.因为x>－1，所以y∈R，所以函数y＝ln(＋1)(x>－1)的反函数是y＝(ex－1)3(x∈R)．B3函数的单调性与最值2．、[2014·北京卷]下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|2．B[解析]由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.4．、[2014·湖南卷]下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x4．A[解析]由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．19．、、、[2014·江苏卷]已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)
0)，则t>1，所以m≤－＝－对任意t>1成立．因为t－1＋＋1≥2＋1＝3,所以－≥－，当且仅当t＝2,即x＝ln2时等号成立．因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)，则g′(x)＝ex－＋3a(x2－1)．当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0，故e＋e－1－2a<0,即a>.令函数h(x)＝x－(e－1)lnx－1，则h′(x)＝1－.令h′(x)＝0,得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)
