高三数学积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲VIP免费

三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\能求值得要求出值.一:定义法例1.化简解:设点二:弦切互化法例2.解:原式三:变用公式例3.解:原式说明:公式在解题中运用非常灵活.常常变形为来使用.四:连锁反应法例5.解:原式=说明:此题分子分母同乘以,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.五:升降次法例6.解:原式用心爱心专心115号编辑例7.解:原式六:基本技巧例8(1)解:原式(2)解:角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。例1、已知sin=4sin(+),求证：tan(+)=。证明：将角分解成=(+)由sin[(+)]=4sin(+)得：sin(+)coscos(+)sin=4sin(+)即sin(+)(cos4)=cos(+)sin从而tan(+)=。例2、若3tan=2tan(+)，则sin(2+)=5sin。证明：由条件有3sincos(+)=2sin(+)cos，6sincos(+)=4sin(+)cos，从而sincos(+)+cossin(+)=5[sin(+)cossincos(+)]，即sin(2+)=5sin。例3、已知cos(+x)=，，求的值。解：而cos(+x)=>0，，于是，从而有sin(+x)=。注意到cos2(+x)=2cos2(+x)1=2()21=sin2x=于是原式=。以上解题过程，紧紧抓住角的变捣，是灵活解题之关键，因此要注意分析思考角的关系，找出差异实现转化。例4、已知：+(，)，(0，)，且sin()=，cos(+)=，求。解：先求2，而2=(+)()，由题可得：cos()=，sin(+)=，用心爱心专心115号编辑cos2=cos[(+)()]=cos(+)cos()+sin(+)sin()=+=又<+<，0<<0<(+)()=2<2=即=6。例5、求(1+tan10)(1+tan20)(1+tan30)的值。解：由10+440=20+430=220+230及(1+tan10)(1+tan440)=1+(tan10+tan440)+tan10tan440=1+tan(10+440)(1tan10tan440)+tan10tan440=1+1tan10440+tan10440=2，同理有：(1+tan20)(1+tan430)=(1+tan220)(1+tan230)=2因而原式=223。一般地，若A=n(n为奇数)，均可考虑用tan化简。例6、求tan250的值。解：上式即为分子=sin450+sin50cos450+cos50sin250=sin50+(sin850sin250)=sin50+2cos550sin300=cos850+cos550=2cos700cos150，同理：分母=2cos700sin150，原式=cot150=2+。和（差）角范围问题在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。一.合理选用公式来确定例1已知α，β均为锐角，sinα=，求α+β的值。解析：由已知条件有cosα=，且0＜α+β＜π。又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ二.借用其他三角函数来确定合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。例2已知，且α，β都是第二象限角，试确定2α+β，2α-β所在象限。用心爱心专心115号编辑解析：由条件α，β都是第二象限角，则有因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。由cos(2α+β)=cos2αcosβ－sin2αsinβ知2α+β在一、四象限。又sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ知2α+β在一、二象限。综上知2α+β在第一象限。同理可确定2α-β在第三象限。三.挖掘隐含条件来确定例3已知cos(α－β)=都是锐角，求cos(α+β)的值。解析：由已知条件有因为0＜sin2α=，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。①又因为0＜β＜，所以＜-β＜0。②由①、②得＜α-β＜。又因为cos（α-β）=，所以。=。用心爱心专心115号编辑从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)评析：本例通过0＜sin2α=，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-β的范围缩小为，进而由cos(α-β)=,将α-β的范围确定为，从而避免了增解。例4已知，且tanα,tnaβ是...