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高三数学积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲VIP免费

高三数学积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲_第1页
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三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\能求值得要求出值.一:定义法例1.化简解:设点二:弦切互化法例2.解:原式三:变用公式例3.解:原式说明:公式在解题中运用非常灵活.常常变形为来使用.四:连锁反应法例5.解:原式=说明:此题分子分母同乘以,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.五:升降次法例6.解:原式用心爱心专心115号编辑例7.解:原式六:基本技巧例8(1)解:原式(2)解:角的变换角的变换,一般包括角的分解和角的组合,角的分解即把一个角分成几个角的和或差,而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。例1、已知sin=4sin(+),求证:tan(+)=。证明:将角分解成=(+)由sin[(+)]=4sin(+)得:sin(+)coscos(+)sin=4sin(+)即sin(+)(cos4)=cos(+)sin从而tan(+)=。例2、若3tan=2tan(+),则sin(2+)=5sin。证明:由条件有3sincos(+)=2sin(+)cos,6sincos(+)=4sin(+)cos,从而sincos(+)+cossin(+)=5[sin(+)cossincos(+)],即sin(2+)=5sin。例3、已知cos(+x)=,,求的值。解:而cos(+x)=>0,,于是,从而有sin(+x)=。注意到cos2(+x)=2cos2(+x)1=2()21=sin2x=于是原式=。以上解题过程,紧紧抓住角的变捣,是灵活解题之关键,因此要注意分析思考角的关系,找出差异实现转化。例4、已知:+(,),(0,),且sin()=,cos(+)=,求。解:先求2,而2=(+)(),由题可得:cos()=,sin(+)=,用心爱心专心115号编辑cos2=cos[(+)()]=cos(+)cos()+sin(+)sin()=+=又<+<,0<<0<(+)()=2<2=即=6。例5、求(1+tan10)(1+tan20)(1+tan30)的值。解:由10+440=20+430=220+230及(1+tan10)(1+tan440)=1+(tan10+tan440)+tan10tan440=1+tan(10+440)(1tan10tan440)+tan10tan440=1+1tan10440+tan10440=2,同理有:(1+tan20)(1+tan430)=(1+tan220)(1+tan230)=2因而原式=223。一般地,若A=n(n为奇数),均可考虑用tan化简。例6、求tan250的值。解:上式即为分子=sin450+sin50cos450+cos50sin250=sin50+(sin850sin250)=sin50+2cos550sin300=cos850+cos550=2cos700cos150,同理:分母=2cos700sin150,原式=cot150=2+。和(差)角范围问题在三角解题中经常遇到确定和(差)角范围的问题,学生常因确定和(差)角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。一.合理选用公式来确定例1已知α,β均为锐角,sinα=,求α+β的值。解析:由已知条件有cosα=,且0<α+β<π。又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ二.借用其他三角函数来确定合理选用公式,仅对两角和(差)的范围在相邻两个象限时起作用,而对于其它情形,可通过两角和(差)的两个三角公式,来确定两角和(差)的范围。例2已知,且α,β都是第二象限角,试确定2α+β,2α-β所在象限。用心爱心专心115号编辑解析:由条件α,β都是第二象限角,则有因为2α+β,2α-β都可能落在三个象限,单独使用正(余)弦和差角公式,从值的符号都不能决定2α+β,2α-β的象限,但同时使用正弦、余弦的和差角公式,即可解决。由cos(2α+β)=cos2αcosβ-sin2αsinβ知2α+β在一、四象限。又sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ知2α+β在一、二象限。综上知2α+β在第一象限。同理可确定2α-β在第三象限。三.挖掘隐含条件来确定例3已知cos(α-β)=都是锐角,求cos(α+β)的值。解析:由已知条件有因为0<sin2α=,所以0<2α<,所以0<α<。①又因为0<β<,所以<-β<0。②由①、②得<α-β<。又因为cos(α-β)=,所以。=。用心爱心专心115号编辑从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)评析:本例通过0<sin2α=,发现了隐含条件:0<α<,将α-β的范围缩小为,进而由cos(α-β)=,将α-β的范围确定为,从而避免了增解。例4已知,且tanα,tnaβ是...

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