高三数学浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧知识点分析VIP专享VIP免费

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。所谓放缩的技巧：即欲证BA，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使BCA，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。常用的放缩技巧还有：（1）若,AtA,AtA,0t（2）,n1nnn2,1n11n,1n),0n(nn)1n(n22n1)1n(n11n1n1).1nn(2n1nn21nn2)n1n(2),1n(n11n1)1n(n1（3）若,Rmba、、则.bmaba,mbaba（4）221211!n1!31!211.211n（5）.n12)n11n1()3121()211(1n131211222（6）11nn1n11n11n1n212n11n1或n212n11n1.21n2nn21n21n21（7）nnnn1n1n1n131211等等。用放缩法证明下列各题。例1求证：.133lg3lg证明：因为,)2ba(ab2所以左边,)299lg()233lg3lg(22[因为99＜100（放大）]＜,1)2100lg(2所以.133lg3lg例2（2000年海南理11）若,2n,Nn求证：.1)1n(log)1n(lognn证明：因为,11n,2n所以,0)1n(log,0)1n(lognn因为4)]1n([log]2)1n(log)1n(log[)1n(log)1n(log22n2nnnn［因为22n1n（放大），所以,nlog)1n(log2n2n又,2n所以xlogn是增函数］，所以14)n(log4)]1n([log22n22n，所以.1)1n(log)1n(lognn例3（2001年云南理1）求证：).Nn,1n)(2n(log)1n(log1nn证明：nlog)2n(log)1n(log)2n(log1n1nn1n左边右边（因为1alogblogba）21n21n1n]2)2n(nlog[]2nlog)2n(log[［又因为2)1n()2n(n（放大）］，所以,1]2)1n(log[]2)2n(nlog[221n21n所以).2n(log)1n(log1nn例4已知,0ba求证：.baba证明：因为0ba.bababa)ba(ba),(baba,0ba,ba2两边同乘放大例5求证：.2ba)2ba(222证明：因为4bab2a)2ba(222（因为22baab2）4bbaa2222（放大）.2ba22所以.2ba)2ba(222例6（2000年湖南省会考）求证：当0a时，函数cbxaxy2的最小值是;a4bac42当0a时，函数cbxaxy2的最大值是.a4bac42证明：因为原函数配方得,a4bac4)a2bx(ay22又因为,0)a2bx(a0)a2bx(,0a22所以a4bac4a4bac4)a2bx(ay222（缩小），所以函数y的最小值是a4bac42。当,0)a2bx(a0)a2bx(,0a22所以a4bac4a4bac4)a2bx(ay222（放大），所以函数y的最大值是.a4bac42例7求证：)Nn)(n1n(2n1证明：因为n1n2nn2n1（分母有理化）),n1n(2所以原不等式成立。例8（2002年贵州省理21）若,0ba求证：)Nn(a)ba(nbab)ba(n1nnn1n证明：因为),bbabaa)(ba(ba1n23n2n1nnn而,0ba所以),Nn(bann所以,na)ba()aaaaa)(ba(ba1n1n23n2n1nnn同理可证nn1nbab)ba(n（当且仅当ba时，取等号）。例9已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：.2acbcbabac证明：不妨设,0cba据三角形三边关系定理有：,0acb便得cbabac,2cba1cabcbacbcacb所以原不等式成立。例10（1999年湖南省理16）求证：)Nn(1n212n11n121证明：因为,21nnnnn1nn1nn1nn12n11n1又,1nnn1n1n1nn12n11n1所以原不等式成立。例11求证：.2n321132112111证明：因为左边)4131()3121()211(1n)1n(13212111,2n12)n11n1(证毕。例12求证)Nn(1!n1!41!31!21证明：因为,2122211k3211!k11k所以左边32212121.1)21(1211n1n注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,DC,CB,BA则DA。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。