高三数学 名校尖子生培优系列 数学解题方法二 待定系数法在圆锥曲线问题中的应用试题 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

二、待定系数法在圆锥曲线问题中的应用典型例题：例1.）设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，21FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为【】()A12()B23()C()D【答案】C。【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。【解析】 12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，∴212FFc。 21FPF是底角为30的等腰三角形，∴0260PFD。 P为直线32ax上一点，∴2232FDODOFac。∴2203=2()cos602FDPFac。又 21FF2PF，即322()2cac。∴34cea。故选C。例2.）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线xy162的准线交于,AB两点，43AB；则C的实轴长为【】()A2()B22()C()D【答案】C。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】xy162的准线:4lx。1 C与抛物线xy162的准线交于,AB两点，43AB，∴(4,23)A，(4,23)B。设222:(0)Cxyaa，则222(4)(23)4a，得2a，24a。故选C。例3.已知椭圆C：2222xy=1ab0ab>>的离心率为32，双曲线22xy=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【】A22xy=182B22xy=1166C22xy=1164D22xy=1205【答案】D。【考点】椭圆和双曲线性质的应用。【解析】 双曲线22xy=1的渐近线方程为y=x，代入2222xy=1ab0ab>>可得22222abx=ab。又 根据椭圆对称性质，知所构成的四边形是正方形，∴2S4x16，即2222ab=4ab①。又由椭圆的离心率为32可得22a3=a2b②。联立①②，解得22a=20b=5，。∴椭圆方程为22xy=1205。故选D。例4.）已知双曲线C：22221xyab的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为【】A．221205xyB.221520xyC.2218020xyD.2212080xy#ww.zz&st^ep.com@]【答案】A。【考点】双曲线的方程、双曲线的渐近线方程。【解析】设双曲线C：22221xyab的半焦距为c，则210,5cc。2 C的渐近线为byxa，点P（2,1）在C的渐近线上，∴12ba，即2ab。又 222cab，∴25,5ab，∴C的方程为221205xy。故选A。例5.已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【】A.B．4C．3D．5【答案】A。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F(3,0)， 双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，∴双曲线的焦点为F(c,0)，且2249=5=5bbb。 双曲线的渐近线方程为：y＝±x，∴双曲线焦点到渐近线的距离d＝＝b=5。故选A。例6.）定义：曲线C上的点到直线的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线1C：2yxa到直线l：yx的距离等于曲线2C：22(4)2xy到直线l：yx的距离，则实数a▲．【答案】74。【考点】新定义，点到直线的距离。【解析】由C2：x2＋(y＋4)2＝2得圆心(0，—4)，则圆心到直线l：y＝x的距离为：0(4)222d。∴由定义，曲线C2到直线l：y＝x的距离为22ddrd。又由曲线C1：y＝x2＋a，令20yx，得：12x，则曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离的点为(12，14a)。∴111()72442422aada。例7.过抛物线22yx的焦点F作直线交抛物线于,AB两点，若25,,12ABAFBF则AF=▲.【答案】56。3【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，方程思想的应用。【分析】设直线的方程为)21(xky（由题意知直线的斜率存在且不为0），代入抛物线方程，整理得04)2(2222kxkxk。设1122(,),(,)AxyBxy，则12221xxk。又 2512AB，∴1225112xx。∴122132112xxk，解得224k。代入04)2(2222kxkxk得1214,33xx。 ||||AFBF，∴13x。∴5||6AF。例8.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽▲米.【答案】26。【考点】抛物线的应用。【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为2xmy=，∴ 当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，∴抛物线过点（2，－2，）.代入2xmy=得，...