导数与函数1669.省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．（1）令，，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？（本小题满分13分）（2）当时，记则……………………8分∵在上单调递减，在上单调递增，且．故.……………………10分∴当且仅当时，.故当时不超标，当时超标．……………………13分70.设函数f(x)=－x3＋mx2+x，g(x)=mx2－x＋c，F(x)=xf(x)。(Ⅰ)若函数y=f(x)在x=2处有极值，求实数m的值；(Ⅱ)试讨论方程y=F＇(x)＝g(x)的实数解的个数；（Ⅲ）记函数y=G(x)的导称函数G＇(x)在区间(a,b)上的导函数为G＇＇(x)，若在(a，b)上G＇＇(x)＞0恒成立，则称函数G(x)(a,b)上为“凹函数”。若存在实数m∈－2,2],使得函数F(x)在(a,b)上为“凹函数”，求b－a最大值。【解析】本题主要考查函数、导数知识及其应用，考查运算求解能力及抽象概括能力，考查函数与方程、分类与整合、数形结合、化归与转化等思想方法.（II）F＇(x)=F＇(x)＝g(x)，即，即令，则∵∴由图知，当时，F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为1当时，F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为2当时，F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为3当时，F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为2当时，F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为1综上所述，或F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为1，当F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为2，当F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为171.已知函数(I)设=-1，求函数的极值；(II)在(I)的条件下，若函数(其中为的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数的取值范围．【解析】本题主要考查函数、导数知识及其应用，考查运算求解能力及抽象概括能力，考查函数与方程、分类与整合、数形结合、化归与转化等思想方法.解：（Ⅰ）当，，，………………2分的单调递减区间为（0，）,单调递增区间为（,………4分.………………6分（Ⅱ）,,………………8分,……………………10分即：.的取值范围………………12分72.已知函数为R上的奇函数，的导数为，且当时，不等式成立，若对一切恒成立，则实数的取值范围是。解得实数的取值范围是73.．（1）求函数的极大值点；（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围．【解析】本题主要考查了导数的计算、导数与单调性的关系、极值问题以及恒成立问题。属于难题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力和转换的思想、分类讨论的思想.（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时,．由（1）知，①当，即时，函数在上递减，在上递增，．由，解得．由，解得，；（12分）②当，即时，函数在上递增，在上递减，．综上所述，当时，在上至少存在一点，使成立。74.已知函数图象上点处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式;（Ⅱ）函数,若方程在上恰有两解,求实数的取值范围.【解析】本题主要考查了导数的计算、导数与斜率的关系、极值问题以及数形结合方法。属于难题。考查了基础知识、基本运算、函数与方程的思想.解：（Ⅰ）当时,.………………………1分,………………………2分………………………4分………………………5分令得，则此方程在上恰有两解。………8分记得………10分v的图像如图所示（或）………………………13分.………………………14分
