导数与函数0810.已知a>0，函数f（x）=ax－bx2.（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2；（2）当b>1时，证明：对任意x∈0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2；（3）当00，b>0，∴a≤2.（2）证明：必要性：对任意x∈0，1］，|f（x）|≤1f（x）≥－1.据此可推出f（1）≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.对任意x∈0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因为b>1，可得0<<1，可推出f（）≤1，即a·－1≤1，∴a≤2，∴b－1≤a≤2.充分性：因为b>1，a≥b－1，对任意x∈0，1］，可以推出ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1，因为b>1，a≤2，对任意x∈0，1］，可以推出：ax－bx2≤2x－bx2－b（x－）2+1≤1，即ax－bx2≤1，∴－1≤f（x）≤1.综上，当b>1时，对任意x∈0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.（3）解：因为a>0，00，0
