数列的前n项和与等差数列的前n项和A级基础巩固一、选择题1．在等差数列{an}中，已知a4＋a5＝12，则S8等于()A．12B．24C．36D．48解析：由于a4＋a5＝12，故a1＋a8＝12，又S8＝，所以S8＝＝48.答案：D2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为()A．1B．C．2D．3解析：因为S3＝＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝＝2.答案：C3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．29解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.所以n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．答案：B4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝()A．12B．14C．16D．18解析：因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.答案：B5．(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为()A．2B．3C．4D．14解析：由题意得＝＝＝，则＝＝＝＝3＋，由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3、5、15，因此，正整数n的可能取值有2、4、14.答案：ACD二、填空题6．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．解析：设等差数列{an}公差为d，由题意可得：解得则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.答案：207．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．解析：设数列{an}的公差为d，S3＝6，S4＝12，所以解得所以S6＝6a1＋d＝30.答案：308．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a3，S5＝15，则a2019＝________．解析：在等差数列{an}中，由S3＝2a3知3a2＝2a3，而S5＝15，则a3＝3，于是a2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此an＝n，故a2019＝2019.答案：2019三、解答题9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则解得所以an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋·2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.(1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝S1＝2，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.B级能力提升1．(多选)已知数列{an}的前n项和Sn(Sn≠0)，且满足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝，则下列说法错误的是()A．数列{an}的前n项和为Sn＝4nB．数列{an}的通项公式为an＝C．数列{an}为递增数列D．数列解析：数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝，所以Sn－Sn－1＋4Sn－1Sn＝0，化为：－＝4，所以数列是等差数列，公差为4，所以＝4＋4(n－1)＝4n，可得Sn＝，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，所以an＝对选项逐一进行分析可得，A、B、C三个选项错误，D选项正确．答案：ABC2．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝5，a7＝13，则S10＝________．答案：1003．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)依题意，得＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝1也适合．即an＝6n－5.(2)由(1)得bn＝＝＝，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[＋＋…＋]＝＝.
