1.2.2空间两条直线的位置关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法正确的有__________．(填序号)①两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线；②两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线；③两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线；④两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线．【解析】①只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；②把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；③从反面肯定了两直线的异面；④中的两条直线可能在同一平面内．故填③.【答案】③2．如图1－2－23，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________.图1－2－23【解析】连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连结EF.由题意知，＝＝，∴EF＝×6＝9，∴BD＝2EF＝18.【答案】183．如图1－2－24，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有________．①②③④图1－2－24【解析】①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．【答案】②④4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是__________.【解析】易证四边形EFGH为平行四边形，又 E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．【答案】矩形5．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线有________条．【解析】l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．【答案】无数6．如图1－2－25，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．图1－2－25【解析】因四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．【答案】∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B7．如图1－2－26，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．图1－2－26①CC1与B1E是异面直线；②C1C与AE共面；③AE，B1C1是异面直线；④AE与B1C1所成的角为60°.【解析】CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故①②错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故④错．【答案】③8．如图1－2－27，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．图1－2－27【解析】连结AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．【答案】4二、解答题9．如图1－2－28，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．图1－2－28【证明】如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1. E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又 Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD綊C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綊DF.又 B1E綊C1Q，∴B1E綊DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．10．如图1－2－29所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.图1－2－29【解】因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.[能力提升]1．一个正方体纸盒展开后如图1－2－30，在原正方体纸盒中有下列结论：图1－2－30①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的是________(填序号)．【解析】把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．【答案】①③2．如图1－2－31，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱C...
