课时分层作业(八)向量数量积的坐标表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于()A．14B．11C．10D．5B[a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.]2．已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝()A．－3B．－2C．2D．3C[因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝3，所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C．]3．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为()A．B．C．D．B[由于2a＋b＝(4，2)，则b＝(4，2)－2a＝(2，0)，则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.]4．已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量OA＝(－1，2)，OB＝(3，m)．若△AOB是直角三角形，则m＝()A．B．2C．4D．或4D[在Rt△AOB中，AB＝(4，m－2)，若∠OAB为直角时，OA·AB＝0，可得m＝4；若∠AOB为直角时，OA·OB＝0，可得m＝；若∠OBA为直角时，无解．]5．以原点O及点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A＝90°，则AB的坐标为()A．(－2，5)或(2，－5)B．(－2，5)C．(2，－5)D．(－2，－5)或(2，5)A[设AB＝(x，y)，由|OA|＝|AB|，得＝.①由OA⊥AB，得5x＋2y＝0②联立①②，解得x＝－2，y＝5或x＝2，y＝－5.故AB＝(－2，5)或AB＝(2，－5)．]二、填空题6．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2BE＝BC，设向量AE，BD的夹角为θ，则cosθ＝________.－[因为2BE＝BC，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则|AE|＝，|BD|＝2，AE·BD＝·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＋AD·AB＝×22－22＝－2，所以cosθ＝＝＝－.]7．已知a＝(4，2)，则与a垂直的单位向量b＝________.或[设b＝(x，y)，则由得或]8．已知OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标为________．(3，0)[设P(x，0)，所以AP·BP＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，AP·BP有最小值，此时P(3，0)．]三、解答题9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b的夹角的余弦；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．[解](1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.10．已知OA＝(4，0)，OB＝(2，2)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影向量；(2)求|OC|的最小值．[解](1)OA·OB＝8，设OA与OB的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴OA在OB上的投影向量为(|OA|cosθ)＝4××＝＝(1，)．(2)|OC|2＝(1－λ)2OA2＋2λ(1－λ)OA·OB＋λ2OB2＝16λ2－16λ＋16＝16＋12，∴当λ＝时，|OC|取到最小值为2.1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m的值为()A．2B．－C．0D．D[由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m＝2cos，解得m＝.]2．已知a＝(4，7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝()A．81B．9C．D．9B[因为a－b＝(9，9)，所以|a－b|＝＝9.]3．(一题两空)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．11[以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，设E(1，a)(0≤a≤1)．所以DE·CB＝(1，a)·(1，0)＝1，DE·DC＝(1，a)·(0，1)＝a≤1，故DE·DC的最大值为1.]4．窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EfGH，且E，f，G，H分别是Af，BG，CH，DE的中点，则AG·DF的值为________．0[如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系.则A，D，延长Af与BC交于点I，tan∠fAB＝＝＝，故I为BC中点．直线AI：y＝x，同理可得：直线GB：y＝－2x＋2，直线HC：y＝x＋；解得：f，G，故AG＝，DF＝，AG·DF＝0.]5．已知OP＝(2，1)，OA＝(1，7)，OB＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．(1)求使CA·CB取得最小值时的OC；(2)根据(1)中求出的点C，求cos∠ACB．[解](1)因为点C是直线OP上一点，所以向量OC与OP共线，设OC＝tOP，则OC＝(2t，t)．CA＝OA－OC＝(1－2t，7－t)，CB＝OB－OC＝(5－2t，1－t)．CA·CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.当t＝2时，CA·CB取得最小值，此时OC＝(4，2)．(2)当OC＝(4，2)时，CA＝(－3，5)，CB＝(1，－1)，所以|CA|＝，|CB|＝，CA·CB＝－8.所以cos∠ACB＝＝－.
