课时分层作业(五)向量的数量积(建议用时：40分钟)一、选择题1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝()A．0B．1C．－1D．±1D[ e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，∴e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝±1.]2．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝()A．B．C．－D．±D[(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±.]3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝()A．－B．0C．D．1C[ |a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝－.又a·a＝|a|2＝1，∴a·a＋a·b＝1－＝.]4．在△ABC中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则AB·BC的值是()A．－25B．25C．－60D．60A[ |AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，∴|AB|2＝|BC|2＋|CA|2，∴△ABC为直角三角形．又cos∠ABC＝，∴AB·BC＝|AB||BC|cos(π－∠ABC)＝13×5×＝－25.]5．设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|>|BC|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[AB与AC的夹角为锐角，所以|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC>|AB|2＋|AC|2－2AB·AC，即|AB＋AC|2>|AC－AB|2，因为AC－AB＝BC，所以|AB＋AC|>|BC|；当|AB＋AC|>|BC|成立时，|AB＋AC|2>|AB－AC|2⇒AB·AC>0，又因为点A，B，C不共线，所以AB与AC的夹角为锐角．故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|>|BC|”的充分必要条件，故选C．]二、填空题6．(一题两空)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影向量等于________．[·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的投影是(|b|cos45°)＝××＝.]7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．4[由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.]8．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________.－1[在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则BD·AE＝(AD－AB)·(AB＋BE)＝AD·AB＋AD·BE－AB2－AB·BE＝5×2×cos30°＋5×2×cos180°－12－2×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.]三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．[解](1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. |a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝＝＝.(2) a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？[解] e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为{k|k＞0且k≠1}．1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．－8B．8C．－6D．6B[由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.]2.(多选题)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，下列结论正确的是()A．CA在CB方向上的投影向量为－CBB．OA·AB＝OA·ACC．CA在CB方向上的投影向量为CBD．OB·AB＝OC·ACBCD[由OA＋AB＋AC＝0得OB＝－AC＝CA，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|OB|＝|OA|，又|OA|＝|AB|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，|CB|＝2，所以CA在CB上的投影向量为＝×＝CB，故C正确．因为OA·AB＝OA·AC＝－2，OB·AB＝OC·AC＝2，故BD正确．]3．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a，b的夹角为________．[由|a|＝|b|＝|a＋b|，所以|a|2＝|a＋b|2，所以|a|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，得a·b＝－|b|2，...
