课时分层作业(四)向量的数乘(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知λ∈R，则下列说法正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|>0C[当λ<0时，A式不成立；当λ＝0或a＝0时，D式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故B式不成立．]2．如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝()A．(b－a)B．(b－a)C．(a－b)D．(a－b)A[MN＝MC＋CN＝MC－NC＝AD－AC＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．]3．已知向量a，b且P1P2＝a＋2b，P2P3＝－5a＋6b，P3P4＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．P1，P2，P3B．P1，P3，P4C．P2，P3，P4D．P1，P2，P4D[∵P2P4＝P2P3＋P3P4＝2a＋4b＝2P1P2，∴P1，P2，P4三点共线．]4．已知a，b是两个不共线的向量，AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线B[∵BD＝BC＋CD＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB，∴AB与BD平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．]5．在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，AC＝b，则AD＝()A．a＋bB．a＋bC．a－bD．a－bA[法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，f，则四边形AEDf为平行四边形，所以AD＝AE＋AF.因为BD＝BC，所以AE＝AB，AF＝AC，所以AD＝AB＋AC＝a＋b，故选A．法二：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，故选A．]二、填空题6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，AB＝2e1，BC＝3e2，则BO＝________.(用e1，e2表示)e2－e1[∵AD＝BC，∴BD＝AD－AB＝3e2－2e1.又∵BD＝2BO，∴BO＝e2－e1.]7．＝________.2b－a[＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a.]8．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________.－2[∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0.又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2.∴∴]三、解答题9．已知在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．[证明]如图所示．∵AD＝AB＋BC＋CD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，∴AD＝2BC.∴AD与BC共线，且|AD|＝2|BC|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC．∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．10．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．[解](1)证明：∵OM＝λOB＋(1－λ)OA，∴OM＝λOB＋OA－λOA，OM－OA＝λOB－λOA，∴AM＝λAB(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．又AM与AB有公共点A，∴A，B，M三点共线．(2)由(1)知AM＝λAB，若点B在线段AM上，则AM与AB同向，∴|AM|>|AB|>0，∴λ>1.1．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为()A．1B．2C．3D．4C[由MA＋MB＋MC＝0可知，M是△ABC的重心．取BC的中点D，则AB＋AC＝2AD.又M是△ABC的重心，∴AM＝2MD，∴AD＝AM，∴AB＋AC＝3AM，即m＝3.]2．如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上一点，若AP＝tAB＋AC，则实数t的值为()A．B．C．D．C[法一：因为AN＝NC，所以AN＝AC.设NP＝λNB，则AP＝AN＋NP＝AC＋λNB＝AC＋λ(NA＋AB)＝AC＋λ＝λAB＋(1－λ)AC，又AP＝tAB＋AC，所以tAB＋AC＝λAB＋(1－λ)AC，得，解得t＝λ＝，故选C．法二：因为AN＝NC，所以AC＝AN，所以AP＝tAB＋AC＝tAB＋AN，因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，选C．]3．(多选题)设a，b是不共线的两个平面向量，已知PQ＝a＋sinα·b，其中α∈(0,2π)，QR＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为()A．B．C．D．CD[因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即QR≠0，因为P，Q，R三点共线，所以PQ与QR共线，所以存在实数λ，使PQ＝λQR，所以a＋sinα·b＝2λa－λb，所以解得sinα＝－.又α∈(0,2π)，故α可为或.选CD．]4．(一题两空)在△ABC中，BD＝2DC，AD＝mAB＋nAC，则m＝________，n＝________.[AD－AB＝2AC－2AD，∴3AD＝AB＋2AC，∴AD＝AB＋AC.]5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC，求＋的值．[解]法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由AN＝nAC可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因为AM＝mAB，所以m＝，整理可得＋＝3.法二：连接AD．因为M，D，N三点共线，所以AD＝λAM＋(1－λ)·AN.又AM＝mAB，AN＝nAC，所以AD＝λmAB＋(1－λ)·nAC.又BD＝DC，所以AD－AB＝AC－AD，所以AD＝AC＋AB.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3.
