课时分层作业(二十二)函数的最大值、最小值(建议用时：40分钟)一、选择题1．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则关于f(x)的最值的说法正确的是()A．只有最大值B．只有最小值C．既有最大值，又有最小值D．既无最大值，又无最小值D[f(x)＝画出图象(略)可知，既无最大值又无最小值．]2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为()A．0B．±2C．2D．－2B[由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2．综上知a＝±2．]3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是()A．y＝＋2B．y＝3x－2C．y＝x2D．y＝1－xA[B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．]4．函数f(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R的值域为()A．[－2,2]B．(－2,2]C．(－2,2)D．[－2,2)A[f(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．]5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．a>0B．a≥0C．a<0D．a≤0C[令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，图象如图：∴f(x)的最小值为f(0)＝f(2)＝0．而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0．]二、填空题6．(一题两空)函数f(x)＝|x－2|－2在区间[0,3]上的最小值为，最大值为．－20[f(x)＝图象如图．由图可知，x＝2时，f(x)min＝－2；x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0．]7．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为．[ ≤f(x)≤，∴≤≤．令t＝，则f(x)＝(1－t2)，令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，即y＝－(t－1)2＋1．∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值．∴g(x)的值域为．]8．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是．2≤m≤4[f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由最小值为1知m≥2．由最大值为5知f(0)＝5，f(4)＝5．所以2≤m≤4．]三、解答题9．已知函数f(x)＝2ax＋(a∈R)．(1)当a＝时，试判断f(x)在(0,1]上的单调性并用定义证明你的结论；(2)对于任意的x∈(0,1]，使得f(x)≥6恒成立，求实数a的取值范围．[证明](1)取任意的x1，x2，且00所以f(x)在(0,1]上的单调递减．(2)由f(x)≥6在(0,1]上恒成立，得2ax＋≥6恒成立，即2a≥6－，∈[1，＋∞)⇒max＝9⇒2a≥9，即a≥．10．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2x＋2．(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．[解]y＝f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1．(1) 对称轴x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，y有最小值，ymin＝f(1)＝1． f(0)＝2
