高中数学第2章平面向量2.5向量的应用课后导练苏教版必修4基础达标1.若四边形满足+=0，·=0，则该四边形是（）A.菱形B.直角梯形C.矩形D.正方形解析：由+=0，得=，则AB∥DC，且AB=DC.又·=0⊥.所以四边形ABCD为矩形.答案：C2.在△ABC中有下列命题，其中正确的是（）①-=②++=0③若(+)·(-)=0，则△ABC为等腰三角形④若·＞0，则△ABC为锐角三角形A.①②B.①④C.②③D.②③④解析：因-=，故①错误，去掉A、B选项，在C、D选项中只要验证④是否正确，当·>0,有∠A为锐角，但不能保证∠B与∠C是否为锐角.故④错误，选C.答案：C3.已知正方形ABCD的边长为1.设=a，=b,=c，则|a+b+c|等于（）A.0B.3C.2+D.2解析：|a+b+c|=2||,||=.所以|a+b+c|=2.答案：D4.已知点A（x,5）关于点P（1,y）的对称点是B（-2，-3），则点(x,y)到原点的距离是（）A.B.C.4D.解析：从而x=4,y=1.再由两点间距离得.答案：D5.设点G是△ABC的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则等于（）A.6B.-6C.-6D.0解析：取和为一组基底，取的中点M可得平行四边形GDME.于是=2=2（+）.而=-2.=-2.可得++=0.答案：D6.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是_________________.解析：因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10N.答案：10N7.已知向量a表示“向东航行3千米”，b表示“向南航行3千米”，则a+b表示_______________.答案：向东南航行千米8.已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6）.求AC与OB的交点P的坐标.解：设P点坐标为P（x,y），则=（x,y）.而=（4，4）. 与共线，∴4x-4y=0①又 =（x-4,y）,=(2-4,6-0)=(-2,6),且与共线，∴6(x-4)-(-2)y=0,即3x+y=12②由①②解得故P点的坐标是（3，3）.9.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：=(+).证明： E、F分别为、BC的中点，∴+=+=0.又 =++①=++②①+②得2=+.∴=(+).10.如图两根绳子把重10kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.解：设A、B所受的力分别为f1、f2.f表示10kg的重力.则f1+f2=f.以重力的作用点C为f1,f2,f的始点.使=f1,=f2,=f，则∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°.∴||=||·cos30°=10×.||=||·cos60°=10×=5.所以A处所受的力为kg，B处所受的力为5kg.综合运用11.已知一物体在共点力F1=（lg2,lg2），F2=（lg5,lg2）的作用下产生位移s=(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为（）A.lg2B.lg5C.1D.2解析：合力F1+F2=(lg2,lg2)+(lg5,lg2)=(1,lg4).W=F·s=(1,lg4)·(2lg5,1)=lg25+lg4=2.答案：D12.已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2）、B（4，1）、C（0，-1），则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.A、B、C均不正确解析：=（3，-1），=（-1，-3），∴||=||=.∴△ABC是等腰三角形.又 ·=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,∴⊥,即∠A=90°.∴△ABC是等腰直角三角形.答案：C13.已知△ABC三边BC、CA、AB的中点分别为D（1，2），E（3，4），F（5，6），则顶点A的坐标是___________________.解析：设A（x,y）. F为AB中点，∴B点坐标为B（10-x,12-y）.又E(3,4)是AC的中点，所以C（6-x,8-y）.由D是BC的中点得答案：（7，8）14.已知A、B、C三点的坐标分别为A（2，-2）、B（5，1）、C（1，4），则∠BAC的余弦值是___________________.解析：由已知得=（3，3），=（-1，6）.于是cosBAC=.答案：15.已知A（2，1），B（3，2），D（-1，4）.（1）求证：⊥；（2）若四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值.（1）证明： A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3),又·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥.(2)解： 四边形ABCD为矩形且⊥，∴=.设点C的坐标为（x,y）,则（-3，3）=（x-3,y-2）,∴∴∴点C坐标为（0，5）又 =(-2,4),=(-4,2),∴·=（-2）×(-4)+4×2=16,而||=，||=.设与的夹角为θ，则cosθ=.∴该矩形两对角线所成锐角的余弦值为.拓展探究16.已知A、B、C、D四点的坐标分别为A（1，0）、B（4，3）、C（2，4）、D（m,n）.当m、n满足什么条件时，...
