高中数学第2章平面向量2.5向量的应用达标训练苏教版必修4基础·巩固1.一艘船从A点出发以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2km/h,则船实际航行速度的大小为__________________.思路解析:如图,设表示船向垂直于对岸行驶的速度表示水流速度,以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD,则就是船实际航行的速度.在直角三角形ABC中,||=2,||=,所以||==4.又tan∠CAB=.答案:2.在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果船从岸边出发,径直沿垂直于水流的航线到达对岸,那么船行进的方向应该指向_____________________.思路解析:如右图,船航行的方向是与河岸垂直方向成30°夹角,即指向河的上游.答案:与河岸垂直方向成30°夹角3.设e1、e2是两个不共线向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A、B、D共线,则k的值为____________________.思路解析:=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.∵A、B、D共线,∴、共线.∴存在λ使=λ,即2e1+ke2=λ(e1-4e2).∴解得k=-8.答案:-84.已知:四点A(5,1)、B(3,4)、C(1,3)、D(5,-3),求证:四边形ABCD是梯形.思路分析:利用向量的坐标运算证明.证明:∵=(-2,3),=(-4,6),∴.∴∥且||≠||.∴四边形ABCD是梯形.5.已知A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),求证:△ABC是直角三角形.思路解析:本题主要是利用向量垂直的条件解决有关问题.证明:∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0.∴⊥.∴△ABC是直角三角形.综合·应用6.若O为平行四边形对角线的交点,=4e1,=6e2,则3e2-2e1等于()A.B.C.D.思路解析:如右图,=6e2,则=6e2-4e1,所以,3e2-2e1=(6e2-4e1)=.答案:B7.已知平行四边形ABCD,E、F分别是DC和AB的中点,求证:AE∥CF.思路分析:利用向量的线性运算及向量在平面几何中的应用.证明:因为E、F为DC、AB的中点,∴=,=.由向量加法法则可知+,+.∵四边形ABCD为平行四边形,∴,.∴-=-(+)=-.∴∥.∴AE∥CF.8.如图2-5-7,P是正方形ABCD的对角线BD上的任意一点,PECF是矩形,用向量证明PA=EF且PA⊥EF.图2-5-7思路分析:把几何图形放在适当的坐标系中,赋予有关点与向量具体的坐标,进行相应的代数运算和向量运算.证明:(1)以点D为坐标原点,DC所在直线为x轴,建立如下图所示的坐标系,设正方形边长为1.又设P(λ,λ)(0＜λ＜1),则A(0,1)、E(λ,0)、F(1,λ),∴||=,||=.∴||=||,即PA=EF.(2)由·=(-λ,1-λ)·(1-λ,λ)=(-λ)×(1-λ)+(1-λ)·λ=-λ+λ2+λ-λ2=0,∴⊥,即PA⊥EF.9.△ABC中,A(5,-1),B(-1,7),C(1,2).求:(1)BC边上的中线AM的长;(2)∠CAB的平分线AD的长;(3)cos∠ABC的值.思路分析:本题是平面几何中有关长度、夹角、垂直问题,可以用向量的坐标运算来解决.解:(1)由已知可知点M的坐标为(0,),∴=(0,)-(5,-1)=(-5,).∴||=.(2)||==10,||==5,∴D分的比为2.∴xD==,yD=.∴||=.(3)∠ABC是与的夹角,而=(6,-8),=(2,-5),cos∠ABC=.10.(2005上海高考)直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4,则点P的轨迹方程是_____________________.思路解析:利用向量数量积的坐标运算.由已知=(x,y),=(1,2),由·=4可得x+2y-4=0.答案:x+2y-4=011.(2005湖南高考)P是△ABC所在平面上一点,若···,则P是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心思路解析:利用平面向量数量积的运算律.由·=·=·可得··=0,即·()=·=0,则有⊥,即PB与CA垂直.同理可得PA⊥BC,PC⊥AB.则点P是△ABC的三条高的交点.答案:D12.(2005福建高考)在△ABC中,∠C=90°,=(k,1),=(2,3),则k的值是()A.5B.-5C.D.-思路解析:利用向量数量积的坐标运算.由已知可得·=0,又=(2-k,2),所以有2×(2-k)+3×2=0,解得k=5.答案:A
