2.5向量的应用[学生用书P113(单独成册)])[A基础达标]1．已知平面内四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形解析：选D．由题意知a－b＝d－c，所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．故选D．2．如果一架飞机先向东飞行200km，再向南飞行300km，设飞机飞行的路程为skm，位移为akm，则()A．s>|a|B．s<|a|C．s＝|a|D．s与|a|不能比较大小解析：选A．物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.3．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2N和4N，则F3的大小为()A．6NB．2NC．2ND．2N解析：选D．由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2N.4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，AC·AB＝5，则AC的长为()A．1B．2C．3D．4解析：选B．因为BD＝AD－AB＝AC－AB，所以BD2＝＝AC2－AC·AB＋AB2，即AC2＝1，所以|AC|＝2，即AC＝2.5．在△ABC中，有下列四个命题：①AB－AC＝BC；②AB＋BC＋CA＝0；③若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．其中正确的命题有()A．①②B．①④C．②③D．②③④解析：选C．因为AB－AC＝CB＝－BC≠BC，所以①错误.AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝AC－AC＝0，所以②正确．由(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0，得|AB|＝|AC|，所以△ABC为等腰三角形，③正确.AC·AB>0⇒cosA>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C．6．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|＝，则AC·CB＝________．解析：由已知得△ABC为正三角形，向量AC与CB的夹角为120°.所以AC·CB＝·cos120°＝－.答案：－7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为________．解析：由题意知，P0P＝5v＝(20，－15)，设点P的坐标为(x，y)，则解得点P的坐标为(10，－5)．答案：(10，－5)8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：如图，向量α与β在单位圆O内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，故以向量α，β为边的三角形的面积为，故β的终点在如图的线段AB上，因此夹角θ取值范围为.答案：9．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线．证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.因为CE⊥AB，而AD＝DC，所以四边形AECD为正方形．所以可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0)．(1)因为ED＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，BC＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，所以ED＝BC，所以ED∥BC，即DE∥BC．(2)连接MD，MB，因为M为EC的中点，所以M，所以MD＝(－1，1)－＝，MB＝(1，0)－＝.因为MD＝－MB，所以MD∥MB.又MD与MB有公共点M，所以D，M，B三点共线．10．已知点P(－3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足PA·AM＝0，AM＝－MQ，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．解：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，则AM＝(x，y－b)，MQ＝(a－x，－y)，因为AM＝－MQ，所以(x，y－b)＝－(a－x，－y)，所以a＝，b＝－，即A，Q，PA＝，AM＝，因为PA·AM＝0，所以3x－y2＝0，即所求轨迹方程为y2＝4x(x>0)．[B能力提升]1．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足AP＝AC＋AB，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．解析：5AP＝AC＋2AB，2AP－2AB＝AC－AP－2AP，－2(PA＋PB)＝PC，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则PC＝2EP＝4...
